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| 230 | sur quelques propriétés des lignes gauches de troisième ordre et classe. |
correspondants, et par conséquent le point commun à ces plans engendrera une cubique gauche qui aura deux points sur chacune des droites aa’, bb’, cc’1.
IV.
11. On donne un hexagone gauche 123456 inscrit dans une cubique gauche. Par les côtés de l’hexagone menons six plans à un point quelconque x de la courbe. Ces plans coupent les côtés opposés respectivement à ceux par lesquels ils passent en six points a, b, c, a’, b’, c’ (a, b, c étant sur trois côtés consecutifs, et a’, b’, c’ sur les côtés opposés). Ces six points sont dans un même plan, qui passe par le point variable x de la courbe, et par une droite fixe. Cette droite fixe est une corde réelle ou idéelle de la cubique. Les six points a, b, ... c’ forment un hexagone de Brianchon (les diagonales aa’, bb’, cc’ se rencontrent au point x).
Si le point x parcourt la cubique, les points a, b, ... c’ engendrent six divisions homographiques sur les côtés de l’hexagone; les droites aa’, bb’, cc’ engendrent trois hyperboloïdes qui passent tous par la cubique et chacun par une couple de côtés opposés de l’hexagone. Ces trois hyperboloïdes ont pour génératrice commune à tous la corde fixe sur laquelle tourne le plan des six points a, b, ... c’.
C’est-à-dire: les trois hyperboloïdes qui passent par une cubique gauche et chacun par une couple de côtés opposés d’un hexagone inscrit dans la cubique ont en commun une même génératrice qui est une corde réelle ou idéelle de la courbe.
12. Si par un des sommets de l’hexagone gauche on mène deux plans tangens à la cubique, qui passent respectivement par les côtés qui ont en commun le dit sommet, ces plans coupent les côtés opposés en deux points, qui avec le premier sommet déterminent un plan passant aussi par une droite fixe, quelque soit le sommet qu’on a choisi dans l’hexagone. Cette droite fixe est la même qui est commune aux trois hyperboloïdes, et autour de laquelle tourne le plan ab ... c’.
On peut nommer cette droite la caractéristique de l’hexagone 123456.
Six points de la cubique donnent lieu a soixante hexagones; chacun d’eux a sa caractéristique et ses trois hyperboloïdes. Un hyperboloïde contient quatre caractéristiques; par example les hexagones
(123456), (126453), (123546), (126543)
ont leurs caractèristiques situées sur l’hyperboloïde (12 — 45). Chaque caractéristique
