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| 228 | sur quelques propriétés des lignes gauches de troisième ordre et classe. |
au système nommé de génératrices. D’oú il suit que les plans osculateurs de la cubique et les génératrices du premier système situées dans ces plans constituent deux formes projectives.
On a maintenant une cubique gauche et un hyperboloïde passant par cette courbe. L’hyperboloïde a deux systèmes de génératrices: toutes les droites de l’un système s’appuient a la courbe en un seul point, et toutes les droites de l’autre système s’appuient à la courbe en deux points. Si l’on donne aussi une droite qui soit corde (réelle ou idéelle) de la cubique, elle déterminera avec les points de la courbe qui sont dans les droites du second système une involution de plans, et avec les points de la courbe qui appartiennent aux droites du premier système un faisceau de plans projectif à ce même système de génératrices. D’où il suit que les points de la courbe et les génératrices du premier système constituent deux formes projectives.
Les deux systèmes de génératrices d’un hyperboloïde qui passe par une cubique gauche, ou qui touche les plans osculateurs d’une telle courbe, se correspondent aussi projectivement entre eux29.
Une conique située dans la surface développable dont l’arête de rebroussement est une cubique gauche est une forme projective à la cubique. A un point quelconque de celle-ci correspond le point de la conique situé dans le plan osculateur de la cubique au point sus-dit. La droite qui joint ces points homologues est tangente à la cubique, et par conséquent elle engendre la surface développable du quatrième ordre et de la troisième classe, dont la cubique est l’arête de rebroussement.
Un cône de second ordre passant par une cubique gauche est une forme projective à celle-ci. A un point de la cubique correspond le plan tangent du cône qui passe par ce point.
10. Applications. On donne un hyperboloïde et cinq de ses points a1, a2, a3, a4, a5; on demande de construire une cubique gauche qui passe par ces points et soit située sur la surface nommée. La courbe cherchée sera le lieu de l’intersection des élémens homologues de deux formes projectives, dont l’une soit un faisceau de plans et l’autre soit un système de génératrices de l’hyperboloïde. On peut prendre pour axe du faisceau la droite a4a5; les plans a1(a4a5), a2(a4a5), a3(a4a5) seront trois plans du faisceau. Les élémens homologues de l’autre forme seront les génératrices du premier (ou du second) système qui passent par a1, a2, a3. Alors à chaque plan passant par a4a5 correspondra une génératrice du même système, et l’intersection de ces élémens sera un point de la cubique cherchée. Comme on est libre de prendre le système de génératrices que l’on veut, ainsi il y aura deux cubiques gauches satisfaisant à la question (proposée par M. Chasles1).
- ↑ Journal de M. Liouville, année 1857, p. 397.
