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| 226 | sur quelques propriétés des lignes gauches de troisième ordre et classe. |
Si la droite R est fixe, et l’on fait varier le plan de la conique C, on obtiendra un faisceau28 de surfaces cubiques, dont les droites doubles formeront un hyperboloïde à une nappe, et l’on aura sur la cubique gauche une involution, dont deux élémens conjugués sont le plan variable de la conique C et le plan osculateur qui passe par la droite double correspondante.
II.
4. On donne deux formes projectives: l’une soit un faisceau de plans passant par une même droite R; l’autre soit un faisceau de plans tangens à un même cône C du second ordre. Les élémens homologues s’entrecoupent dans une droite qui engendre une surface cubique, dont R est la droite double. Par un point quelconque de R passent deux génératrices, dont le plan tourne autour d’une droite fixe S. C’est-à-dire: chaque plan qui passe par cette droite S contient deux génératrices qui donnent lieu à une involution de plans sur le cône C et à une deuxième involution de plans par R. Les élémens doubles de ces involutions sont individués par les points où R perce C.
La droite R avec le sommet du cône C détermine un plan, qui aura son correspondant tangent à cette surface; la droite intersection de ces plans sera une génératrice de la surface. Par cette génératrice passe un autre plan tangent du cône, et ce dernier plan passe aussi par la droite S.
5. Dans les formes projectives données je considère un plan du faisceau R et la génératrice de contact du plan homologue tangent au cône C. La génératrice perce le plan en un point, dont le lieu est une cubique gauche qui passe par le sommet du cône et par les intersections de cette surface avec la droite donnée.
6. Réciproquement: je suppose maintenant que l’on ait une cubique gauche, un de ses points comme sommet d’un cône C passant par la courbe, et une droite R qui s’appuie en deux points (réels ou imaginaires) de la même cubique. Chaque point de la courbe donne lieu à un plan passant par R, et à un autre plan tangent au cône C. Ces plans forment deux systèmes projectifs. La droite intersection de deux plans homologues engendre une surface cubique, qui contient une autre directrice rectiligne S rencontrant la cubique en un seul point. Si la droite R est fixe, et l’on fait varier le sommet du cône C, on obtient un système de surfaces cubiques, et la droite S engendre un hyperboloïde à une nappe. De plus, on aura sur la cubique gauche une involution formée par les sommets des cônes et les points d’appui des droites S correspondantes.
