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| intorno ad un’operetta di giovanni ceva. | 215 |
Una trasversale qualunque determina sui lati di un triangolo sei segmenti tali che il prodotto di tre non aventi termini comuni è eguale al prodotto degli altri tre.
È questo un teorema notissimo e fondamentale nella geometria segmentaria. L’opera più antica in cui lo si trovi è il trattato di geometria sferica di Menelao (80 anni dopo C.); volgarmente però lo attribuiscono a Tolomeo (vissuto nel secolo successivo), forse perchè l’Almagesto è opera meglio letta di quella di Menelao.
Il teorema medesimo si estende, com’è noto, ad un poligono qualsivoglia (Carnot, Essai sur la théorie des transversales).
L’autore applica il suo metodo anche alla dimostrazione di proprietà conosciute. Ai vertici di un triangolo ABC (fig. 1.ª) si suppongano applicati tre pesi, tali che si abbia:
a : b : c = BC : CA : AB.
Sia A’ il centro di gravità dei pesi b, c applicati in B, C; avremo
BA’ : CA’ = c : b = AB : AC,
dunque, per un noto teorema (Legendre, lib. III, prop. 17), la retta AA’ sarà la bisettrice dell’angolo A. Analogamente le rette BB’, CC’ saranno le bissettrici degli angoli B, C. Dunque, in virtù del secondo elemento, arriviamo al noto teorema:
Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo qualunque concorrono in uno stesso punto.
Ai vertici di un triangolo ABC (fig. 4.ª) si suppongano applicate tre forze parallele_I_(page_229_crop).jpg)
a, b, c, la prima delle quali sia in senso
contrario alle altre due, ed inoltre si abbia:
a : b : c = BC : CA: AB.
Allora il punto A’ cadrà fra B e C, ma B’, C’ cadranno ne’ prolungamenti de’ lati CA, AB; AA’ sarà la bissettrice dell’angolo interno A, mentre BB’ e CC’ saranno le bissettrici degli angoli esterni supplementi degli interni B e C. Avremo quindi:
In un triangolo le bissettrici de’ supplementi di due angoli e la bissettrice del terzo angolo concorrono in uno stesso punto.
Se i pesi applicati ai vertici del triangolo ABC (fig. 1.ª) sono eguali, A’, B’, C’ sono i punti medi de’ lati, epperò:
Le tre mediane di un triangolo concorrono in uno stesso punto.
Ai vertici del triangolo ABC siano applicate tre forze parallele a, b, c tali che si
