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| 214 | intorno ad un’operetta di giovanni ceva. |
quindi:
AB . AC : AB’ . AC’ = (a + b)(a + c): bc
e per conseguenza:
| 11) |
ABC : AB’C’ = (a + b)(a + c): bc.
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I triangoli OBC, OB’C’, avendo un angolo eguale, danno analogamente:
OBC : OB’C’ = OB . OC : OB’ . OC’;
ma moltiplicando fra loro la seconda e la terza delle (3) si ha:
OB . OC : OB’. OC’ = (a + b)(a + c) : bc
quindi:
| 12) |
OBC : OB’C’ = (a + b)(a + c) : bc.
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Dal confronto delle (11) e (12) concludiamo pertanto:
ABC : AB’C’ = OBC : OB’C’
formola esprimente un teorema. Analogamente si trova:
ABC : A’BC’ = OCA : OC’A’
ABC : A’B’C = OAB : OA’B’
le quali danno facilmente le due seguenti eguaglianze:
AB’C’ . OBC + BC’A’ . OCA + CA’B’. OAB = ABC . A’B’C’
esprimenti due eleganti teoremi.
Dal suo primo elemento il Ceva deduce un teorema che certamente egli ignorava essere antico. Dalle (1), (2) e (3) si hanno le proporzioni:
AC’ : BC’ = b : a, BO : B’O = c + a : b, B’C : AC = a : c + a
le quali moltiplicate fra loro somministrano:
AC’ . BO . B’C = BC’ . B’O . AC.
Questa formola applicata al triangolo ABB’ segato dalla trasversale CC’ dà il teorema:
