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considerazioni di storia della geometria ecc.

Dal porisma di Pappo¹:

“Se un poligono di n lati si deforma in modo che gli n lati rotino rispettivamente intorno ad altrettanti poli fissi situati in linea retta, mentre n — 1 vertici percorrono n — 1 rette date, anche l’ultimo vertice descriverà una retta individuata„;

si deduce:

“Se un poligono di n vertici si deforma in modo che gli n vertici percorrano altrettante rette date passanti per uno stesso punto, mentre n — 1 lati rotano intorno ad n — 1 punti dati, anche l’ultimo lato roterà intorno ad un punto individuato„.

Il teorema di Newton²:

“Dato un angolo, si conducano quante trasversali parallele si vogliano; e dai punti in cui ciascuna trasversale incontra i lati dell’angolo si conducano due rette passanti rispettivamente per due punti dati; il punto di concorso di queste due rette genera una conica passante pei punti dati e pel vertice dell’angolo dato„;

può essere generalizzato assumendo le trasversali non parallele ma passanti tutte per uno stesso punto; in tal caso quel teorema coincide con uno di Maclaurin³ e Braikenridge⁴ che può enunciarsi così:

“Se i lati di un triangolo variabile rotano intorno a tre punti fissi, mentre due suoi vertici scorrono su due rette date, il terzo vertice descrive una sezione conica„.

Così enunciato questo teorema dà per suo polare reciproco il seguente:

“Se i vertici di un triangolo variabile scorrono su tre rette date, mentre due lati rotano intorno a due punti fissi, il terzo lato inviluppa una sezione conica„.

Il succitato teorema di Newton può risguardarsi (siccome ha notato lo Chasles) quale generalizzazione del seguente di Cavalieri⁵:

“Dato un angolo retto AOB se ne seghino i lati con una serie di trasversali parallele, una qualunque delle quali incontri i lati OA, OB in a, b; il punto d’incontro delle aB, bA genera una conica circoscritta al triangolo AOB„.

Dal teorema di Sturm⁶:

“Tre coniche circoscritte ad uno stesso tetragono sono segate da una trasversale qualunque in sei punti che formano una involuzione„;

si conclude:

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1. Math. Collect., VII, præf.
2. Principia I, lemma 20.
3. Philos. Transactions of the Royal Society of London, for the year 1735.
4. Exercitatio geometrica de descriptione curvarum. Londini 1733.
5. Exercitationes geometricæ sex. Bononiæ 1647.
6. Annales de Gergonne, tom. XVII.