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| considerazioni di storia della geometria ecc. | 197 |
Ecco in che consiste tale metodo. Nel piano di una data figura sia tracciata una sezione conica (direttrice) rispetto alla quale si prenda la polare di un punto qualunque della data figura; questa polare invilupperà la figura trasformata (chiamata polare reciproca della data). Inversamente se rispetto alla conica direttrice si prende la polare di un punto qualunque della seconda figura, questa polare invilupperà la prima figura. Cioè due figure polari reciproche sono tali che ciascuna è il luogo dei poli delle rette tangenti all’altra, e simultaneamente è l’inviluppo delle rette polari dei punti dell’altra medesima; sempre intendendo queste polari e questi poli presi rispetto alla conica direttrice. La conica direttrice può essere qualunque; talvolta si è assunta una parabola1, tal’altra un’iperbole equilatera2, ma più spesso una circonferenza3.
Mediante il metodo ora accennato da qualunque teorema di geornetria che involga sole proprietà projettive (rapporti di segmenti, intersezioni e contatti di linee) se ne può derivare un altro che si chiama suo polare reciproco, ovvero correlativo (denominazione di Chasles). Ma se il teorema proposto contiene proprietà metriche o relazioni angolari, allora se ne possono derivare molti altri, ciascun de’ quali corrisponde ad una speciale conica direttrice.
Adduciamo alcuni esempi.
Dal teorema dell’esagramma mistico di Pascal:
“Se un esagono è inscritto in una conica i punti di segamento de’ lati opposti sono in linea retta„;
deducesi il non meno famoso teorema di Brianchon4:
“Se un esagono è circoscritto ad una conica le rette congiungenti i vertici opposti passano per uno stesso punto„.
“Se un tetragono è inscritto in una conica le tangenti in due vertici opposti si tagliano sulla retta congiungente i punti di concorso de’ lati opposti„;
si conclude:
“Se un quadrilatero è circoscritto ad una conica la retta che unisce i punti di contatto di due lati opposti passa pel punto comune alle due diagonali„.
- ↑ Chasles, Mémoires sur la transformation parabolique des propriétés métriques des figures (Corréspondence math. de Quetelet, tomes V et VI).
- ↑ Bobillier, Annales de Gergonne, tom. XIX.
- ↑ Poncelet, Théorie générale des polaires reciproques. — Mannheim, Transformation des propriétés métriques, etc. Paris 1857.
- ↑ Journal de l’École Polytechnique, cahier 13.
- ↑ De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus.
