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| 182 | considerazioni di storia della geometria ecc. |
Nell’ultimo capitolo, che tratta de’ poligoni regolari, troviamo dimostrate le belle proposizioni (pag. 63 e seg.):
“Divisa una circonferenza in n parti eguali, se uniamo i punti di divisione, a cominciare da uno di essi, di 2 in 2, di 3 in 3, ed in generale di h in h, si forma un poligono regolare di n lati, quando i numeri n ed h siano primi tra di loro„.
Il numero h costituisce la specie del poligono.
“Vi ha tanti poligoni regolari di n lati, quante unità vi sono nella metà del numero che esprime quanti numeri interi vi sono inferiori ad n e primi con esso„.
“La somma degli angoli interni, formati dai lati successivi di un poligono regolare di n lati, e uguale a 2 (n — 2h) retti„.
Questi teoremi sono i fondamentali nella teorica de’ poligoni stellati.
6. Gli antichi geometri, per quanto ci consta dalle loro opere rimasteci, non considerarono che poligoni (regolari o irregolari) convessi. Boezio nella sua Geometria dà il primo esempio, che ci sia noto, dell’iscrizione del pentagono regolare stellato nel cerchio. Campano1 autore d’una celebre traduzione d’Euclide, fatta sopra un testo arabo, una delle prime che siano comparse in Europa (13.º secolo) presenta il pentagono stellato come avente la proprietà d’avere la somma degli angoli eguale a due retti.
Al principio del secolo quattordicesimo, Tomaso Bradwardino (arcivescovo di Canterbury) creò una vera teoria de’ poligoni stellati, che egli denominò egredienti2 dando il nome di semplici ai poligoni convessi. Prolungando i lati di un poligono semplice, fino al loro incontro a due a due, si genera un poligono egrediente di primo ordine: il primo di tali poligono è il pentagono stellato. Analogamente dai poligoni egredienti di primo ordine si derivano quei di second’ordine, ecc.: la prima figura egrediente di second’ordine e l’ettagono. Bradwardino enuncia il principio generale che la prima figura di un ordine qualunque è formata dai prolungamenti dei lati della terza figura dell’ordine precedente. Egli arriva, per induzione, anche al teorema: la prima figura di ciascun ordine ha la somma de’ suoi angoli eguale a due retti, e nelle altre figure dello stesso ordine la somma degli angoli va aumentando di due retti passando da una figura alla successiva.
Daniele Barbaro nel suo trattato di prospettiva3 mostrò che i poligoni regolari danno luogo in due maniere ad altri poligoni simili a quelli. Una maniera è di prolungarne i lati fino al loro incontro a due a due; i punti d’incontro sono i vertici
