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intorno ad una proprietà delle superficie curve, ecc.

costante, o sfere passanti per uno stesso punto dato nello spazio, o sfere aventi i rispettivi centri in un dato piano, ecc.

Ciò premesso, le formole (11), (14), (15) esprimono che in un punto dato di una superficie curva data, qualunque siano due sezioni normali a tangenti sferoconiugate, comprendenti l’angolo ω e aventi i raggi di curvatura d, d₁, le quantità:

$\left({\frac {1}{\Delta }}-{\frac {1}{d}}\right)\left({\frac {1}{\Delta }}-{\frac {1}{d_{1}}}\right):\operatorname {sen} ^{2}\omega ,$     $\left({\frac {1}{d}}+{\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {2}{\Delta }}\right):\operatorname {sen} ^{2}\omega ,$$\left({\frac {1}{dd_{1}}}-{\frac {1}{\Delta ^{2}}}\right):\operatorname {sen} ^{2}\omega$

sono costanti.

5. Siano θ, θ₁ gli angoli che le due rette (α, β, γ), (α₁, β₁, γ₁) comprendono con una linea di curvatura della data superficie, nel punto (x, y, z). Avremo, pel noto teorema di Eulero:

${\frac {1}{d}}={\frac {\cos ^{2}\theta }{\delta }}+{\frac {\operatorname {sen} ^{2}\theta }{\delta _{1}}},$     ${\frac {1}{d_{1}}}={\frac {\cos ^{2}\theta _{1}}{\delta }}+{\frac {\operatorname {sen} ^{2}\theta _{1}}{\delta _{1}}}.$

Questi valori sostituiti nella (14) danno:

${\frac {\cos \theta .\cos \theta _{1}}{\delta }}+{\frac {\operatorname {sen} \theta .\operatorname {sen} \theta _{1}}{\delta _{1}}}={\frac {\cos(\theta -\theta _{1})}{\Delta }},$

ossia:

16)	$\operatorname {tang} \theta .\operatorname {tang} \theta _{1}=-{\frac {{\frac {1}{\Delta }}-{\frac {1}{\delta }}}{{\frac {1}{\Delta }}-{\frac {1}{\delta _{1}}}}},$

relazione fra gli angoli che una linea di curvatura fa con due tangenti sferoconiugate. Cioè:

In un punto dato di una data superficie curva, il prodotto delle tangenti trigonometriche degli angoli che due rette tangenti sferoconiugate qualsivogliano fanno con una stessa linea di curvatura è costante.

Segue da ciò:

In un punto dato di una data superficie curva, le coppie di rette tangenti sferoconiugate sono in involuzione.

Le rette doppie di questa involuzione sono le tangenti di quelle due sezioni normali, egualmente inclinate ad una stessa linea di curvatura, per le quali il raggio del circolo osculatore è uguale a Δ. Tali rette doppie sono reali o immaginarie se-