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intorno ad una proprietà delle superficie curve, ecc.

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L’espressione $\Upsilon$ può scriversi così:

$\Upsilon$ = — l (Nq² + Mr² — 2L₁ qr) + 2l₁ (p (L₁p — M₁q — N₁r) + Lqr)
— m (Lr² + Np² — 2M₁ rp) + 2m₁ (q (— L₁p + M₁q — N₁r) + Mrp)
— n (Mp² + Lq² — 2N₁ pq) + 2n₁ (r (— L₁p — M₁q + N₁r) + Npq)

Ma per le proprietà caratteristiche degli ombelichi, si hanno le seguenti formole date dal prof. Chelini nella sua elegantissima memoria sulle formole fondamentali risguardanti la curvatura delle superficie e delle linee¹:

${\frac {\mathrm {N} q^{2}+\mathrm {M} r^{2}-2\mathrm {L} _{1}qr}{q^{2}+r^{2}}}={\frac {p(\mathrm {L} _{1}p-\mathrm {M} _{1}q-\mathrm {N} _{1}r)+\mathrm {L} qr}{qr}}$ $={\frac {\mathrm {L} r^{2}+\mathrm {N} p^{2}-2\mathrm {M} _{1}rp}{r^{2}+p^{2}}}={\frac {q(-\mathrm {L} _{1}p+\mathrm {M} _{1}q-\mathrm {N} _{1}r)+\mathrm {M} rp}{rp}}$ $={\frac {\mathrm {M} p^{2}+\mathrm {L} q^{2}-2\mathrm {N} _{1}pq}{p^{2}+q^{2}}}={\frac {r(-\mathrm {L} _{1}p-\mathrm {M} _{1}q+\mathrm {N} _{1}r)+\mathrm {N} pq}{pq}}$ $={\frac {k{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}}{\Delta }};$

quindi:

$\Upsilon =-{\frac {k{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}}{\Delta }}\times {\begin{Bmatrix}(m+n)p^{2}-2l_{1}qr\\+(n+l)q^{2}-2m_{1}rp\\+(l+m)r^{2}-2n_{1}pq\end{Bmatrix}}.$

Ma si ha inoltre²:

(m + n) p² + (n + l) q² + (l + m) r² — 2l₁qr — 2m₁rp — 2n₁pq $=(p^{2}+q^{2}+r^{2})^{\frac {3}{2}}\left({\frac {1}{\delta }}+{\frac {1}{\delta _{1}}}\right),$

onde:

$\Upsilon =-{\frac {k{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}}{\Delta }}\left({\frac {1}{\delta }}+{\frac {1}{\delta _{1}}}\right).$

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1. Annali di scienze matematiche e fisiche. Roma 1853.
2. Ibidem.