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intorno ad una proprietà delle superficie curve, ecc. |
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si ricava:
![{\displaystyle k{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}\left({\frac {1}{\mathrm {D} }}-{\frac {1}{d}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25854c3fbf689cf99e9986b875e60fdf354abb1b) |
= |
(L — kl) α2 + 2 (L1 — kl1) βγ
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+ |
(M — km) β2 + 2 (M1 — km1) γα
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+ |
(N — kn) γ2 + 2 (N1 — kn1) αβ,
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![{\displaystyle k{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}\left({\frac {1}{\mathrm {D_{1}} }}-{\frac {1}{d_{1}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34afecbf37c6b38761146c5619aba590ce7a5bfd) |
= |
(L — kl) α12 + 2 (L1 — kl1) β1γ1
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+ |
(M — km) β12 + 2 (M1 — km1) γ1α1
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+ |
(N — kn) γ12 + 2 (N1 — kn1) α1β1.
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Queste due equazioni si moltiplichino fra loro, membro per membro, e dal risultato sottraggasi il quadrato della (8). Avuto riguardo alle note relazioni:
ove ω è l’angolo delle rette (α, β, γ), (α1, β1, γ1), il risultato può scriversi così:
![{\displaystyle {\frac {k^{2}(p^{2}+q^{2}+r^{2})}{\operatorname {sen} ^{2}\omega }}\left({\frac {1}{\mathrm {D} }}-{\frac {1}{d}}\right)\left({\frac {1}{\mathrm {D} _{1}}}-{\frac {1}{d_{1}}}\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dfb8c8bee869534564356a4fda1f17b8ccbf5cc)
Siano δ, δ1 i raggi di massima e minima curvatura della superficie (1) nel punto (x, y, z); per una nota formola di Gauss1 avremo:
La quantità Φ ha l’analogo significato rispetto alla superficie inviluppata. Ma noi supporremo che per questa il punto (x, y, z) sia un ombelico, ed indicheremo con Δ il corrispondente raggio di curvatura, onde sarà D = D1 = Δ. Avremo dunque:
- ↑ Disquisitiones generales circa superficies curvas.