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intorno ad una proprietà delle superficie curve, ecc.

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la tangente alla data linea (4) nel punto (x, y, z) fa cogli assi, cioè posto:

x’ = α, y’ = β, z’ = γ,

avremo:

8)	0 = (L — kl) αα₁ + (L₁ — kl₁) (βγ₁ + γβ₁) + (M — km) ββ₁ + (M₁ — km₁) (γα₁ + αγ₁) + (N — kn) γγ₁ + (N₁ — kn₁) (αβ₁ + βα₁).

Quest’è la relazione di reciprocità che lega fra loro le rette (α, β, γ), (α₁, β₁, γ₁) tangenti, l’una alla linea data e l’altra alla caratteristica della superficie inviluppo; cioè essa è, sotto altra forma, l’equazione di Bordoni nel caso del contatto di primo ordine.

Per la proprietà espressa dall’equazione (8), sembra conveniente chiamare tangenti coniugate le due rette in quistione, designandole coll’epiteto di coniugate ordinarie o dupiniane nel caso che le superficie (2) siano piane.

2. Per la normale comune alle superficie (1) e (3) nel punto (x, y, z) conduciamo due piani che passino rispettivamente per le due tangenti coniugate (α, β, γ), (α₁, β₁, γ₁). Siano d, d₁ i raggi di curvatura delle sezioni normali risultanti nella prima superficie, e D, D₁ i raggi di curvatura delle sezioni normali risultanti nella seconda superficie. Avremo le note equazioni:

9)	${\frac {\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}{d}}$ = lα² + mβ² + nγ² + 2l₁βγ + 2m₁γα + 2n₁αβ,

10)	${\frac {\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}{d_{1}}}$ = lα₁² + mβ₁² + nγ₁² + 2l₁β₁γ₁ + 2m₁γ₁α₁ + 2n₁α₁β₁,

${\frac {\sqrt {\mathrm {P} ^{2}+\mathrm {Q} ^{2}+\mathrm {R} ^{2}}}{\mathrm {D} }}$ = Lα² + Mβ² + Nγ² + 2L₁βγ + 2M₁γα + 2N₁αβ,

${\frac {\sqrt {\mathrm {P} ^{2}+\mathrm {Q} ^{2}+\mathrm {R} ^{2}}}{\mathrm {D} _{1}}}$ = Lα₁² + Mβ₁² + Nγ₁² + 2L₁β₁γ₁ + 2M₁γ₁α₁ + 2N₁α₁β₁,

da cui, avuto riguardo all’identità:

k² (p² + q² + r²) = P² + Q² + R²,