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intorno ad una proprietà delle superficie curve, ecc.

esprimono i valori delle derivate:

${\frac {\mathrm {dF'} }{\mathrm {dX} }},$     ${\frac {\mathrm {dF'} }{\mathrm {dY} }},$     ${\frac {\mathrm {dF'} }{\mathrm {dZ} }}$

corrispondenti ad X = x, Y = y, Z = z.

Indicato ora con k ciascuno de’ rapporti eguali:

${\frac {\mathrm {P} }{p}},$     ${\frac {\mathrm {Q} }{q}},$     ${\frac {\mathrm {R} }{r}},$

deriviamo totalmente rispetto ad s le equazioni:

P = kp,     Q = kq,     R = kr

considerate come identiche, in virtù della sostituzione delle u, v, w (funzioni di x (s), y (s), z (s)) in luogo delle U, V, W. E si noti che la derivata totale di ciascuna delle quantità P, Q, R si comporrà di due parti: l’una relativa alla s implicita nelle u, v, w; l’altra relativa alla s che entra nelle coordinate esplicite. Derivando adunque le precedenti equazioni, e ponendo:

${\frac {\mathrm {dP} }{\mathrm {d} x}}=\mathrm {L} ,$		${\frac {\mathrm {dQ} }{\mathrm {d} z}}={\frac {\mathrm {dR} }{\mathrm {d} y}}=\mathrm {L} _{1},$
${\frac {\mathrm {dQ} }{\mathrm {d} y}}=\mathrm {M} ,$		${\frac {\mathrm {dR} }{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {dP} }{\mathrm {d} z}}=\mathrm {M} _{1},$
${\frac {\mathrm {dR} }{\mathrm {d} z}}=\mathrm {N} ,$		${\frac {\mathrm {dP} }{\mathrm {d} y}}={\frac {\mathrm {dQ} }{\mathrm {d} x}}=\mathrm {N} _{1},$

avremo:

$\left[{\frac {\mathrm {dF'} }{\mathrm {dX} }}\right]$ + Lx’ + N₁y’ + M₁z’ = k’p + k (lx’ + n₁y’ + m₁z’),
$\left[{\frac {\mathrm {dF'} }{\mathrm {dY} }}\right]$ + N₁x’ + My’ + L₁z’ = k’q + k (n₁x’ + my’ + l₁z’),
$\left[{\frac {\mathrm {dF'} }{\mathrm {dZ} }}\right]$ + M₁x’ + L₁y’ + Nz’ = k’r + k (m₁x’ + l₁y’ + nz’),

ove gli accenti in alto significano derivate rispetto ad s.

Si moltiplichino le equazioni precedenti, ordinatamente, per α₁, β₁, γ₁ e si sommino i risultati; avuto riguardo alle (6), (7) e indicati con α, β, γ i coseni degli angoli che