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intorno ad una proprietà delle superficie curve, ecc.

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Questi valori sostituiti nella (2) danno:

3)	F (X, Y, Z, u, v, w) = 0

equazione rappresentante quella superficie della famiglia (2) che passa pel punto (x, y, z) della (1) ed ivi ha con essa comune il piano tangente.

Suppongasi ora data una linea qualsivoglia, tracciata sulla superficie (1) e passante pel punto (x, y, z). Sia essa rappresentata dalle equazioni:

4)	x = x (s),     y = y (s),     z = z (s),

indicandosi con s l’arco della linea medesima. Supposto che nelle u, v, w dell’equazione (3) sian poste per x, y, z le equivalenti funzioni di s date dalle (4), l’equazione (3) verrà a rappresentare, per successivi valori di s, la serie di quelle superficie della famiglia (2) che toccano la superficie (1) lungo la linea (4). Tale serie di superficie ammetterà una superficie inviluppo, l’equazione della quale sarà il risultato dell’eliminazione di s fra la (3) e la:

5)

F’ = 0

derivata totale della (3) presa rispetto ad s.

Se nelle equazioni (3) e (5) si considera s come data o costante, esse rappresentano la caratteristica dell’inviluppo, cioè la curva lungo la quale la superficie inviluppo tocca quell’inviluppata che corrisponde al punto (x, y, z). Supponiamo che in queste equazioni le coordinate correnti X, Y, Z siano espresse in funzione di S, arco della caratteristica; allora le equazioni stesse, considerate come identiche, somministrano, mediante la derivazione rispetto ad S, le:

${\frac {\mathrm {dF} }{\mathrm {dX} }}\cdot {\frac {\mathrm {dX} }{\mathrm {dS} }}+{\frac {\mathrm {dF} }{\mathrm {dY} }}\cdot {\frac {\mathrm {dY} }{\mathrm {dS} }}+{\frac {\mathrm {dF} }{\mathrm {dZ} }}\cdot {\frac {\mathrm {dZ} }{\mathrm {dS} }}=0,$ ${\frac {\mathrm {dF'} }{\mathrm {dX} }}\cdot {\frac {\mathrm {dX} }{\mathrm {dS} }}+{\frac {\mathrm {dF'} }{\mathrm {dY} }}\cdot {\frac {\mathrm {dY} }{\mathrm {dS} }}+{\frac {\mathrm {dF'} }{\mathrm {dZ} }}\cdot {\frac {\mathrm {dZ} }{\mathrm {dS} }}=0.$

Facciamo in queste X = x, Y = y, Z = z ed indichiamo con α₁, β₁, γ₁ i coseni degli angoli che la tangente alla caratteristica nel punto (x, y, z) fa cogli assi; avremo:

6)	pα1 + qβ1 + rγ1 = 0

7)	$\left[{\frac {\mathrm {dF'} }{\mathrm {dX} }}\right]\alpha _{1}+\left[{\frac {\mathrm {dF'} }{\mathrm {dY} }}\right]\beta _{1}+\left[{\frac {\mathrm {dF'} }{\mathrm {dZ} }}\right]\gamma _{1}=0$

ove i simboli:

$\left[{\frac {\mathrm {dF'} }{\mathrm {dX} }}\right],$     $\left[{\frac {\mathrm {dF'} }{\mathrm {dY} }}\right],$     $\left[{\frac {\mathrm {dF'} }{\mathrm {dZ} }}\right]$