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| 160 | sulle coniche e sulle superficie di second’ordine congiunte. |
32. È nota l’importanza del teorema d’Ivory relative ai punti corrispondenti nelle superficie omofocali. Ecco le proprietà correlative nelle superficie congiunte.
Date due superficie, congiunte, della stessa specie, chiameremo corrispondenti due punti appartenenti rispettivamente ad esse, quando le loro coordinate parallele agli assi principali sono ordinatamente proporzionali ai semidiametri diretti secondo questi assi. E diremo corrispondenti anche i piani tangenti ne’ punti corrispondenti.
In due superficie congiunte, della stessa specie, la differenza dei quadrati inversi delle distanze di due piani corrispondenti dal centro comune è costante. Questo valor costante è la differenza de’ quadrati inversi di due semidiametri nella stessa direzione.
Il prodotto delle distanze dal centro comune di due superficie congiunte da due piani tangenti rispettivamente ad esse, moltiplicate pel coseno dell’angolo da questi compreso, è eguale all’analoga espressione relativa ai piani corrispondenti.
Se due superficie congiunte della stessa specie sono rispettivamente toccate da due piani, e se pel centro comune O si conduce la perpendicolare al piano vettore della retta intersezione de’ due piani tangenti, la quale li incontri ne’ punti p, q, l’espressione
sarà eguale all’analoga relativa ai piani corrispondenti de’ due dati.
33. La forma dell’equazione (1) mostra che più superficie di second’ordine, aventi i medesimi cilindri congiunti, sono circoscritte ad una stessa curva immaginaria del quart’ordine, a doppia curvatura, per la quale passano tre cilindri di second’ordine (i tre cilindri congiunti), uno de’ quali è immaginario, ed un cono immaginario di second’ordine, il quale è il cono assintotico di una sfera qualunque concentrica alle date superficie. Onde segue che quella curva gobba immaginaria è projettata sopra due piani principali delle date superficie in coniche reali (ellisse ed iperbole) e sul piano all’infinito in un cerchio immaginario.
Dunque:
Un sistema di superficie di second’ordine, aventi gli stessi cilindri congiunti, gode di tutte le proprietà ond’è dotato un sistema di superficie di second’ordine passanti per una stessa linea a doppia curvatura del quart’ordine.
Di qui segue, a cagion d’esempio, che:
I piani polari di uno stesso punto arbitrario, relativamente a più superficie congiunte, passano per una stessa retta r. Questa è la polonormale relativa a quel punto ed alla superficie congiunta che passa per esso. Se il polo percorre una retta l, la retta r genera un iperboloide passante pel centro delle date superficie e contenente le polari della retta l.
