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| sulle coniche e sulle superficie di second’ordine congiunte. | 159 |
Per ottenere tutte le sviluppabili circoscritte principali di una data superficie di second’ordine, basta combinar questa con tutte le superficie ad essa congiunte, di specie diversa.
È visibile la correlazione fra le proprietà delle sviluppabili circoscritte principali e quelle delle linee di curvatura.
31. Parecchie proprietà, da noi enunciate, rispetto al sistema di una superficie di second’ordine e di un suo cilindro congiunto, non sono che casi particolari di teoremi più generali relativi al sistema di due o più superficie congiunte. Per esempio, il penultimo enunciato del n.º 24 è compreso nel seguente teorema:
Il piano di un triangolo, i cui vertici scorrano rispettivamente su tre superficie di second’ordine congiunte, e siano veduti dal centro comune di queste sotto angoli retti, inviluppa una sfera concentrica alle superficie date. L’inverso quadrato del raggio di questa sfera è eguale alla terza parte della somma algebrica degl’inversi quadrati de’ semiassi delle superficie date.
Il primo teorema del n. 19 è in un certo senso, generalizzato nel seguente:
Date due superficie di second’ordine congiunte e due piani tangenti della prima, questi segano la seconda in due coniche, per le quali si può far passare una superficie di second’ordine, avente un punto focale nel centro delle date, e per relativi piani direttori i piani tangenti alla prima superficie, condotti per la retta che unisce i punti di contatto de’ piani dati.
Se i piani dati sono paralleli si ha:
Date due superficie di second’ordine congiunte, e due piani paralleli tangenti alla prima di esse, questi segano la seconda in due coniche per le quali passa un cono avente il vertice nel centro delle superficie date, e per piani ciclici i piani tangenti alla prima superficie condotti pel diametro che unisce i punti di contatto de’ piani dati.
Così il teorema del n.º 25 è un caso del seguente:
In due superficie congiunte, la differenza degl’inversi quadrati di due semidiametri nella stessa direzione è costante.
Da cui segue:
Quando un ellissoide ed un iperboloide hanno gli stessi cilindri congiunti, il primo è incontrato dal cono assintotico del secondo in punti che sono ad egual distanza dal centro comune delle superficie.
Dimostrasi facilmente anche questa proprietà:
Quando due superficie di second’ordine sono congiunte, se una retta parallela ad un asse incontra una superficie in un punto e l’altra in un altro, i raggi vettori corrispondenti fanno con quell’asse angoli i cui seni sono inversamente proporzionali ai diametri delle superficie diretti secondo l’asse medesimo.
