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sulle coniche e sulle superficie di second’ordine congiunte. 157

giunti, ossia l’equazione generale della superficie congiunta colla data è:

1)
(a + ω) x2 + (b + ω) y2 + (c + ω) z2 — 1 = 0


onde tutte quelle superficie hanno in comune, oltre i piani principali, anche le direzioni dei piani ciclici. Ciò si può esprimere dicendo:

I coni assintotici di più superficie congiunte sono omociclici.

Dall’esame dell’equazione (1) facilmente si desume che tutte le superficie congiunte ad una data si dividono in tre gruppi: ellissoidi, iperboloidi ad una falda, iperboloidi a due falde. Due superficie qualunque non hanno alcun punto reale comune, Gli ellissoidi sono tutti situati entro il cilindro ellittico congiunto. Questo è circondato dagli iperboloidi ad una falda che sono tutti disposti fra le superficie convesse de’ due cilindri congiunti. Finalmente le due falde del cilindro iperbolico contengono nella loro concavità le due falde di ogni iperboloide non rigato. Dunque il cilindro ellittico separa gli ellissoidi dagli iperboloidi ad una falda: ed il cilindro iperbolico divide questi dagli iperboloidi a due falde. Ossia:

Data una superficie di second’ordine e per conseguenza dati anco i suoi due cilindri congiunti (reali), per un punto qualunque dello spazio si pub sempre far passare una, ed una sola, superficie (reale) congiunta alla data. Tale superficie è un ellissoide o un iperboloide ad una falda o un iperboloide a due falde, secondo che quel punto si trova o dentro il cilindro ellittico, o fra le superficie convesse de’ due cilindri, o entro il concavo del cilindro iperbolico.

Gli ellissoidi hanno tutti l’asse maggiore parallelo al cilindro ellittico, e l’asse medio parallelo alle generatrici del cilindro iperbolico. La serie degli ellissoidi comincia dal punto che è centro comune di tutte le superficie e può risguardarsi come un’ellissoide di dimensioni nulle, e finisce col cilindro ellittico, il quale si può considerare come un ellissoide avente un asse infinito.

Ciascun iperboloide rigato ha l’asse immaginario parallelo alle generatrici del cilindro ellittico, e il maggior asse reale parallelo alle generatrici del cilindro iperbolico. La serie degli iperboloidi ad una falda comincia col cilindro ellittico e finisce col cilindro iperbolico.

Ogni iperboloide a due falde ha gli assi immaginari rispettivamente paralleli alle generatrici de’ due cilindri congiunti. La serie degli iperboloidi a due falde comincia col cilindro iperbolico e prosegue indefinitamente, senza limite reale.

29. Un piano qualunque:

tx + uy + vz + 1 = 0