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156 sulle coniche e sulle superficie di second’ordine congiunte.

toto della focale iperbolica; se la perpendicolare condotta pel centro O della data superficie al piano vettore della retta intersezione di M, N incontra questi piani in m, n; e se la perpendicolare condotta per O al piano vettore della intersezione di M, P incontra questi piani in m’, p; la quantità


è costante, comunque siano scelti i piani M, N.

Il primo enunciato è stato ricavato, mediante la trasformazione polare, dal teorema fondamentale della memoria del sig. Amiot (t. 8.º del giornale di Liouville). L’altro enunciato fu dedotto collo stesso mezzo, da un teorema dimostrato nell’eccellente opera di Plücker: System der Geometrie des Raumes (2a edizione Düsseldorf, 1852; pag. 292).

27. Gli assintoti della focale iperbolica hanno un’altra interessante proprietà che si connette con quelle de’ cilindri congiunti.

Abbiamo già veduto che due piani tangenti qualsivogliano di un cilindro congiunto sono i piani d’omologia per la superficie data e per una superficie di rotazione avente un fuoco nel centro della data e per relativo piano direttore il piano delle due generatrici di contatto del cilindro. Or bene: i centri d’omologia per tali superficie sono situati negli assintoti della focale che è nel piano perpendicolare al cilindro. Ossia:

Due punti presi ad arbitrio rispettivamente sugli assintoti della focale iperbolica di una data superficie di second’ordine sono i vertici di due coni inviluppanti simultaneamente la superficie data ed una superficie di rotazione avente un fuoco nel centro della data. Queste due superficie si segano in due coniche, i cui piani toccano il cilindro congiunto perpendicolare al piano della focale iperbolica.

I piani tangenti ad una superficie di second’ordine ne’ quattro punti in cui questa è incontrata dagli assintoti della focale iperbolica sono tangenti anche al cilindro congiunto perpendicolare al piano della focale, e sono i limiti di separazione fra i piani tangenti di questo cilindro che segano e quelli che non segano la superficie data.

Questi quattro piani tangenti, che sono reali soltanto per l’ellissoide e per l’iperboloide a due falde, posseggono le proprietà polari reciproche degli ombelichi.


Proprietà di più superficie di second’ordine aventi gli stessi cilindri congiunti.

28. Data una superficie di second’ordine:

ax2 + by2 + cz2 — 1 = 0


l’equazione generale di tutte le superficie aventi in comune con essa i cilindri con-