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| 154 | sulle coniche e sulle superficie di second’ordine congiunte. |
Se la superficie data è un iperboloide ad una falda: i piani condotti pel centro e per due generatrici poste in uno stesso piano tangente sono i piani ciclici comuni ai tre coni aventi il vertice al centro e per basi le tre coniche nelle quali il piano tangente sega i tre cilindri congiunti della superficie data.
24. I precedenti teoremi si riferiscono ad un piano tangente; quello che segue risguarda un piano trasversale qualsivoglia.
Se un piano qualunque sega una data superficie di second’ordine, ed i suoi cilindri congiunti, le sezioni risultanti sono vedute dal centro della data superficie secondo coni omociclici. Per conseguenza ogni piano tangente comune a due di questi coni li tocca secondo due rette ortogonali.
Da cui segue immediatamente:
Se un cono concentrico ad una superficie di second’ordine la sega in una conica piana, i piani principali di quella determinano sul piano della sezione tre rette tali, che i piani condotti per esse parallelamente ad un cilindro congiunto sono coniugati rispetto a questo cilindro medesimo.
Il precedente teorema può anche enunciarsi così:
Data una superficie di second’ordine, se in un piano qualunque si determina quel triangolo che è coniugato rispetto alla superficie e che col centro di questa forma tre piani ortogonali, i piani condotti pei lati di essa parallelamente ad un cilindro congiunto sono coniugati rispetto a questo cilindro.
Ha luogo anche la seguente proprietà:
Il piano di un triangolo veduto dal centro di una data superficie di second’ordine sotto angoli retti, un vertice del quale scorra sulla superficie data, mentre gli altri due vertici scorrono sui due cilindri congiunti reali, inviluppa una sfera avente per diametro il diametro della superficie data parallelo al cilindro congiunto immaginario.
Se il piano trasversale passa pel centro della data superficie, il primo teorema del presente numero diviene:
Ogni piano diametrale d’una superficie di second’ordine sega questa ed i cilindri congiunti secondo coniche aventi le stesse linee congiunte.
25. Passo ora ad esporre alcune proprietà segmentarie.
Se una retta condotta pel centro di una superficie di second’ordine incontra questa in m ed un cilindro congiunto in n, la quantità
è costante, qualunque sia la direzione della trasversale; ed invero è eguale all’inverso quadrato del semidiametro della superficie data, parallelo a quel cilindro.
