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| 152 | sulle coniche e sulle superficie di second’ordine congiunte. |
2.º La serie infinita delle superficie, aventi un punto focale nel centro della data e per relativi piani direttori, i due piani tangenti del cilindro;
3.º La serie infinita delle superficie di rotazione, aventi un fuoco nel centro della superficie data e per relativo piano direttore il piano delle due generatrici, lungo le quali il cilindro congiunto è toccato dai suoi due piani tangenti;
4.º La serie infinita de’ cilindri tangenti al dato lungo le due generatrici anzidette;
Le quattro serie sono omografiche;
Due superficie corrispondenti nelle prime due serie si toccano fra loro lungo una conica situata nel piano delle due generatrici del cilindro dato;
Tre superficie corrispondenti nelle ultime tre serie passano per una stessa curva situata sulla superficie data.
22. È evidente la corrispondenza fra le proprietà de’ cilindri congiunti e quelle delle coniche eccentriche o focali in una superficie di second’ordine. Ed invero le une si deducono dalle altre col metodo delle polari reciproche, assumendo, come superficie direttrice, una sfera concentrica alla superficie data. Io ho applicato questo processo di trasformazione alle belle proprietà delle coniche eccentriche enunciate dal sig. Chasles nella Nota XXXI del suo Aperçu historique, e ne ho così ricavato buona parte de’ risultati che seguono.
In primo luogo ne ho dedotto il seguente teorema che inchiude una nuova definizione dei cilindri congiunti:
Data una superficie di second’ordine (di centro O) ed un punto qualunque m nello spazio, s’immagini la retta l intersezione del piano polare di m (relativo alla superficie data) col piano condotto per O perpendicolarmente al raggio vettore Om. Se ora pel punto m e per la retta l conduciamo rispettivamente una retta ed un piano paralleli ad un asse principale della superficie data, la retta sarà la polare del piano relativamente ad un cilindro determinato, qualunque sia il punto m. Questo cilindro, parallelo all’asse principale nominato, è uno de’ congiunti della superficie data.
Ossia:
Data una superficie di second’ordine, ed un punto m situato comunque nello spazio, se si prenda il piano polare di m rispetto alla superficie, ed il piano polare, relativamente ad un cilindro congiunto, della retta condotta per m parallela al cilindro, la retta comune ai due piani polari ed il punto m sono veduti dal centro della superficie data sotto angolo retto.
Quando il punto m è preso sulla data superficie, il suo piano polare relativo a questa è il piano tangente. In tal caso, la retta intersezione del piano tangente col piano condotto per O perpendicolarmente al raggio vettore Om, può chiamarsi, in difetto d’altra denominazione, polonormale.
