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| 150 | sulle coniche e sulle superficie di second’ordine congiunte. |
onde tutte quelle superficie sono concentriche ed hanno i medesimi piani principali. L’equazione (3) rappresenta un cono per
epperò, oltre il cono (2), si hanno i tre coni congiunti:
| 4) |
(b — a) y2 + (c — a) z2 — 1 = 0
(c — b) z2 + (a — b) x2 — 1 = 0 (a — c) x2 + (b — c) y2 — 1 = 0 |
i quali sono tre cilindri, aventi rispettivamente le generatrici parallele agli assi principali della superficie data (1). Noi li chiameremo i tre cilindri congiunti della superficie data. Ritenuto a > b > c, il primo cilindro è immaginario; il secondo che ha le generatrici parallele ai piani ciclici della (1) è iperbolico; il terzo è ellittico.
Paragonando le equazioni (4) con quelle delle sezioni principali delle superficie (1), risulta che:
Ciascun piano principale di una superficie di second’ordine sega questa e il cilindro congiunto ad esso perpendicolare secondo due coniche aventi le stesse linee congiunte (rispetto al loro centro comune). I tre sistemi di linee congiunte comuni sono le intersezioni del piano principale cogli altri due cilindri congiunti e col cono immaginario congiunto (2).
Ciascuno de’ tre cilindri congiunti individua gli altri due; e se prendiamo a considerare l’iperbole e l’ellisse, basi de’ due cilindri reali, ciascuna di queste coniche ha due vertici nelle linee congiunte reali dell’altra.
Segue da ciò:
Quando due superficie di second’ordine hanno le sezioni principali rispettivamente dotate delle stesse linee congiunte (rispetto al loro centro comune), esse hanno i medesimi cilindri congiunti. E reciprocamente, se due superficie di second’ordine hanno un cilindro congiunto comune, le loro sezioni principali avranno rispettivamente le stesse linee congiunte.
19, I teoremi n) e p), n. 15, applicati alla superficie data e ad un suo cilindro congiunto, somministrano:
Due piani tangenti ad un cilindro congiunto di una superficie di second’ordine segano questa secondo due coniche per le quali si può far passare una superficie di rotazione avente un fuoco nel centro della superficie data. Il relativo piano direttore è il piano delle due generatrici di contatto del cilindro coi suoi due piani tangenti.
Data una superficie di second’ordine, se un piano condotto pel centro di essa, parallelamente ad un cilindro congiunto, sega questo in due generatrici; i piani tangenti
