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sulle tangenti sfero-coniugate.

chiaminsi X, Y, Z, A, B, C, G, H, K; P, Q, R, D, E, F, S, T, U i valori delle derivate parziali

${\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}$, ${\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} y}}$, ${\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} z}}$, ${\frac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} x^{2}}}$, ${\frac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} y^{2}}}$, ${\frac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} z^{2}}}$, ${\frac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} y\mathrm {d} z}}$, ${\frac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} x\mathrm {d} z}}$, ${\frac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} x\mathrm {d} y}}$;

${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} p}}$, ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} q}}$, ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}$, ${\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} p^{2}}}$, ${\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} q^{2}}}$, ${\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} r^{2}}}$, ${\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} q\mathrm {d} r}}$, ${\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} p\mathrm {d} r}}$, ${\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} p\mathrm {d} q}}$;

corrispondenti al punto di coordinate x, y, z; inoltre pongasi per brevità

$\delta ^{2}={\frac {\mathrm {P} ^{2}+\mathrm {Q} ^{2}+\mathrm {R} ^{2}}{\mathrm {X} ^{2}+\mathrm {Y} ^{2}+\mathrm {Z} ^{2}}}.$

La proprietà delle tangenti coniugate è rappresenta dalla equazione

1)	a1α (D — Aδ) + b1β (E — Bδ) + c1γ (F — Cδ) + (b1γ + c1β) (S — Gδ) + (c1α + a1γ) (T — Hδ) + (a1β + b1α) (U — Kδ) = 0

la quale deducesi facilmente da quella che da il prof. Bordoni, pel contatto di un ordine qualunque nella nota citata. Ora sia

f = (p — u)² + (q — v)² + (r — w)² — k² = 0

essendo u, v, w parametri arbitrari; in questo caso l’equazione (1) diviene

2)	${\frac {\sqrt {\mathrm {X} ^{2}+\mathrm {Y} ^{2}+\mathrm {Z} ^{2}}}{k}}$ cos e = Aa1α + Bb1β + Cc1γ + G (b1γ + c1β) + H (c1α + a1γ) + K (a1β + b1α)

ove e sia l’angolo che la retta tangente la linea (a) comprende colla retta tangente la caratteristica della superficie inviluppante le sfere che toccano la superficie data lungo la linea (a). Le due rette tangenti nominate si possono chiamare sfero-coniugate. Siano r₁ ed r₂ i raggi di curvatura delle sezioni normali alla superficie data e tangenti la linea (a) e la caratteristica considerata, nel punto ad esse comune; e siano R₁ ed R₁ i raggi di massima e minima curvatura corrispondenti al punto stesso. Avremo quindi, com’è noto,

${\frac {\sqrt {\mathrm {X} ^{2}+\mathrm {Y} ^{2}+\mathrm {Z} ^{2}}}{r_{1}}}$ = Aa₁² + Bb₁² + Cc₁² + 2 Gb₁ c₁ + 2 Ha₁ c₁ + 2 Ka₁ b₁ ${\frac {\sqrt {\mathrm {X} ^{2}+\mathrm {Y} ^{2}+\mathrm {Z} ^{2}}}{r_{2}}}$ = Aα² + Bβ² + Cγ² + 2 Gβγ + 2 Hγα + 2 Kαβ: