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sulle coniche e sulle superficie di second’ordine congiunte. 143


Dato un fascio di coniche congiunte, i due punti in cui una trasversale arbitraria tocca due di queste curve, sono coniugati rispetto a qualsivoglia conica del fascio.

Dato un fascio di coniche congiunte, una trasversale arbitraria le sega in coppie di punti formanti un’involuzione. I punti doppi di questa involuzione sono quelli ove la trasversale tocca due coniche del fascio. I raggi vettori, condotti dal centro comune delle coniche ai punti dell’involuzione anzidetta, formano un’altra involuzione, nella quale l’angolo di due raggi omologhi, e l’angolo supplementare sono divisi per metà dai raggi doppi.

9. I poli di una trasversale arbitraria, relativi a più coniche congiunte, sono in un’iperbole equilatera che passa pel centro comune delle coniche date ed ha gli assintoti rispettivamente paralleli agli assi di queste.

Il ramo di quest’iperbole, che passa pel centro delle coniche congiunte, è ivi diviso in due parti. La parte che allontanandosi da questo centro si va accostando alle linee congiunte, contiene i poli relativi alle ellissi appartenenti al dato sistema di coniche. L’altra parte contiene i poli relativi a coniche immaginarie.

L’altro ramo poi contiene i poli relativi alle iperboli.

Se in un punto qualunque dell’iperbole equilatera si conduce la retta tangente alla conica congiunta che passa per esso, questa retta va ad incontrare la trasversale in un punto, pel quale passa un’altra conica congiunta, ivi toccata dalla medesima retta.

Le rette polari di un punto m rispetto a più coniche congiunte, passano per uno stesso punto m’. I punti m, m’ sono veduti dal centro comune delle coniche sotto angolo retto.

Se il punto m percorre una retta l, il punto m’ descrive l’iperbole luogo dei poli di l.

Ecc. ecc.

10. Se:

ux + vy = 1


è l’equazione di una retta, la condizione ch’essa tocchi la conica (1) è:


Siano μ, — ν le radici di questa equazione quadratica, cioè i parametri delle due coniche toccate dalla retta proposta. Si avrà:

μ — ν = u2 + v2 — (a + b),     μν = bu2 + av2ab,


da cui: