Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/156

142 sulle coniche e sulle superficie di second’ordine congiunte.

niche hanno in comune gli assi, e son desse appunto che corrispondono, polarmente, alle coniche omofocali.

L’equazione (1) mostra che più coniche congiunte si ponno risguardare come circoscritte allo stesso rettangolo immaginario, formato dai tre sistemi di linee congiunte.

Il sistema (1) contiene infinite ellissi ed infinite iperboli. Le ellissi sono tutte nello spazio compreso fra le due linee congiunte reali; le iperboli tutte al di fuori, ciascuna avendo un ramo da una banda e l’altro dalla banda opposta, rispetto alle linee congiunte. Ciascuna ellisse ha l’asse maggiore parallelo alle linee congiunte; ciascuna iperbole ha l’asse focale perpendicolare alle linee congiunte. La serie delle ellissi comincia da quel punto, che è centro comune delle coniche congiunte, e finisce col sistema delle linee congiunte. La serie delle iperboli comincia con questo sistema e procede indefinitamente, senza limite reale. Onde:

Per un punto qualunque nel piano di una conica passa sempre una, ed una sola, conica congiunta alla data; la quale è iperbole o ellisse secondo che il punto sia fuori o entro lo spazio compreso fra le linee congiunte.

Invece una retta qualunque tocca sempre due coniche congiunte ad una data, le quali sono di specie diversa. I due punti di contatto sono veduti dal centro sotto angolo retto; ed i raggi vettori che vanno ai punti di contatto sono le bisettrici dell’angolo formato dai raggi condotti ai punti in cui la retta sega qualunque altra conica congiunta alla data. Cioè:

Dato un fascio di coniche congiunte ed una retta trasversale, le porzioni di questa comprese fra le coniche sono vedute dal centro sotto angoli che hanno le stesse bisettrici. Queste incontrano la trasversale ne’ punti in cui essa tocca due coniche del fascio.

Date in un piano due rette parallele, si ponno descrivere infinite coniche, ellissi ed iperboli, di cui quelle siano le linee congiunte. Ogni ellisse ha con ciascuna iperbole quattro tangenti comuni, e per ciascuna di queste i due punti di contatto sono veduti dal centro sotto angolo retto.

L’inviluppo di una retta inscritta fra due coniche congiunte e veduta dal loro centro sotto angolo retto, è una circonferenza concentrica alle coniche date.

8. In due coniche congiunte, la differenza degl’inversi quadrati di due semidiametri nella stessa direzione è costante. (Questa costante è la differenza del valori del parametro ω, relativi alle due coniche).

Per conseguenza:

Quando un’ellisse ed un’iperbole sono congiunte, la prima è incontrata dagli assintoti della seconda in quattro punti situati sopra una circonferenza concentrica alle coniche date. L’inverso quadrate del raggio di questa circonferenza è la differenza de’ valori di ω, corrispondenti alle due coniche.