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sulle coniche e sulle superficie di second’ordine congiunte.

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Coniche congiunte.

1. Data una conica riferita ad assi ortogonali:

U = 0

si diranno linee congiunte ad essa, rispetto ad un dato punto (α, β), due rette che seghino idealmente la curva in quattro punti appartenenti ad una circonferenza di raggio nullo, avente il centro nel punto dato, ossia, ciò che è lo stesso, al sistema di due rette immaginarie:²⁶

S = (x — α)² + (y — β)² = 0.

Per trovare tali rette, basta porre l’equazione:

U + ωS = 0

e determinare ω in modo che il discriminante di essa sia nullo. L’equazione precedente rappresenta evidentemente un sistema di coniche aventi le stesse linee congiunte rispetto al punto dato.

2. La conica data, riferita ai suoi assi principali, sia rappresentata dall’equazione:

ax² + by² — 1 = 0 ... (a > b).

Consideriamo le sue linee congiunte rispetto al centro della curva: rette che noi chiameremo semplicemente linee congiunte. Esse sono date dall’equazione:

ax² + by² — 1 + ω (x² + y²) = 0

quando diasi ad ω uno dei tre valori:

— a,     — b,     ∞.

Si hanno così i tre sistemi di linee congiunte:

(b — a) y² — 1 = 0,     (a — b) x² — 1 = 0,     x² + y² = 0.

Le sole rette del secondo sistema sono reali, ed invero parallele all’asse focale, se la data conica è un’ellisse, o all’asse non focale, se essa è un’iperbole.

Que’ tre sistemi di linee congiunte sono i lati e le diagonali di un rettangolo immaginario, inscritto nella conica data e concentrico ad essa.

3. Ecco alcune proprietà delle linee congiunte di una conica: proprietà che sono polari reciproche di quelle che competono ai fuochi.