Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/152

138 sulle coniche e sulle superficie di second’ordine congiunte.

le superficie omofocali1, mediante il metodo delle polari reciproche; e per ciò stesso, ne ommetto, come superflue, le dimostrazioni. Mio unico scopo è di attirare l’attenzione di qualche benevolo lettore su d’una teoria che promette d’essere feconda quanto lo è quella de’ luoghi omofocali, da cui la prima può derivarsi mercè la trasformazione polare.

È notissimo che le coniche omofocali si possono considerare come inscritte in uno stesso quadrilatero immaginario, avente due vertici reali (i due fuochi reali comuni alle coniche), due vertici immaginari a distanza finita (i due fuochi immaginari situati sul secondo asse delle coniche) e il quinto e sesto vertice immaginari all’infinito (i punti circolari all’infinito). Il sig. Chasles ha enunciate pel primo l’analoga proprieta per le superficie omofocali2. Più superficie omofocali, cioè dotate di sezioni principali omofocali, sono idealmente inscritte in una medesima superficie sviluppabile immaginaria, avente tre coniche di stringimento (una ellittica, la seconda iperbolica, la terza immaginaria) ne’ piani principali comuni alle superficie date; mentre la quarta curva di stringimento e il cerchio immaginario all’infinito.

Se le superficie di second’ordine, che si considerano, sono coni, è noto che a lato alla teorica de’ coni omofocali esiste la teorica de’ coni omociclici: teorica che si deriva dalla prima mediante la polarità supplementare3. E da questa doppia teoria dei coni si conclude poi immediatamente la doppia teorica delle coniche sferiche omofocali e delle coniche sferiche omocicliche4.

Ciò premesso, è ragionevole pensare che anche per le coniche piane e per le superficie di second’ordine in generale, esista una teoria analoga a quella de’ coni omociclici; una teoria di un tale sistema di coniche o di superficie, che sia rispetto alle coniche circoscritte ad uno stesso quadrangolo o alle superficie passanti per una stessa curva gobba, ciò che le coniche e le superficie omofocali sono rispetto alle coniche inscritte in un quadrilatero e alle superficie inscritte in una stessa sviluppabile.

Questa memoria mostrerà che infatti tale teorica esiste e che essa è inclusa, come caso particolare, in quella di un sistema di coniche aventi le stesse linee congiunte, rispetto ad un dato cerchio, o di un sistema di superficie di second’ordine aventi gli stessi coni congiunti, relativamente ad una data sfera.


  1. Aperçu historique, Note 31e (Propriétés nouvelles des surfaces du second degrè, analogues à celles des foyers dans les coniques). — Comptes rendus de l’Académie de Paris, 1860; n. 24 et 25.
  2. Aperçu historique, Note 31e.
  3. Chasles, Mémoire de géométrie pure sur le propriétés générales des cônes du second dégré (Nouveaux Mémoires de l’Acad. de Bruxelles, tom. VI, 1830).
  4. Chasles, Mémoire de géométrie sur les propriétés générales des coniques sphériques (Nouveaux Mém. de l’Acad. de Bruxelles, t. VI). — Comptes rendus, 1860, n. 13. — Nouvelles Annales de Mathématiques, juillet 1860.