Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/137

sur les coniques sphériques et nouvelle solution générale ecc.

123

Ainsi:

Théorème IV. Quand trois coniques U, V, W sont circonscrites à un même tétragone, si l’on décrit deux coniques U’, V’ homocycliques à U et V respectivement, on pourra circonscrire au tétragone U’ V’ une conique W’ homocyclique a la troisième conique W. Et les deux tétragones U V, U’ V’ auront leurs huit sommets situés dans une même conique.          (Chasles).

Il suit d’ici qu’on aura deux faisceaux homographiques de coniques, dont les bases sont les tétragones U V, U’ V’, et les deux coniques correspondantes:

U — iV = 0,     U’ — iV’ = 0

sont toujours homocycliques.

Il est évident qu’à la condition d’être homocycliques on peut substituer celle de rencontrer une conique donnée dans un même système de quatre points réels ou imaginaires. En vertu de cette observation, les quatre théorèmes de M. Chasles ne constituent qu’un théorème unique, auquel on peut dormer l’énoncé suivant:

Étant données plusieurs coniques:

U = 0,     V = 0,     W_r = U — i_rV = 0

circonscrites à un même tétragone, et une autre conique quelconque

C = 0;

si aux tétragones U C, V C on circonscrit deux coniques U’, V’, on pourra circonscrire aux tétragones W_r C respectivement des coniques W’_r qui soient toutes circonscrites au tétragone U’ V’. Et les deux tétragones U V, U’ V’ auront leurs huit sommets situés sur une même conique

K = 0.

Il s’ensuit encore:

Si deux tétragones U K, U’ K inscrits dans une même conique K sont les bases de deux faisceaux homographiques de coniques, les points d’intersection de deux coniques correspondantes

λW_r = (λ — i_rμ)U — i_rK = 0,

λW’_r = (λ — i_rμ)U’ — i_rK = 0

se trouvent toujours dans une même conique:

U — U’ = 0.²⁴