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sur les coniques sphériques et nouvelle solution générale ecc.

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tétragone U A’. Des équations (15) on tire:

B — B’ = μA — μ’A’,

μ’B — μB’ = (μ’ — μ)U + (λ — λ’)μμ’(x² + y² + z²);

donc l’équation

B — B’ = 0

représente une conique circonscrite au tétragone B B’ et homocyclique aux coniques A, A’, et l’equation:

μ’B — μB’ = 0

représente une conique circonscrite au tétragone B B’ et homocyclique à U.

Donc:

Théorème I. Étant données deux coniques homocycliques A, A’ et une troisième conique quelconque U, si aux tétragones U A, U A’ on circonscrit deux coniques quelconques B, B’, le tétragone B B’ sera inscrit tout à la fois à une conique homocyclique aux deux A, A’ et à une conique homocyclique à U.          (Chasles).

6. Soient encore données les coniques A, A’, U, d’où l’on déduit B, B’. On peut donner à la fonction B + kB’ la forme

x² + y² + z².

Il suffit, en effet, de poser

k + 1 = 0,     μ — μ’ = 0;

alors on a:

B — B’ = μ(λ — λ’)(x² + y² + z²),

c’est-à-dire les coniques B, B’ sont homocycliques.

Ainsi:

Théorème II. Étant donnees deux coniques homocycliques A, A’ et une troisième conique quelconque U, si au tétragone U A on circonscrit une conique quelconque B, on pourra circonscrire au tétragone U A’ une conique B’ homocyclique à B.          (Chasles).

7. Soient données trois coniques homocycliques:

A = ax² + by² + cz² + λ(x² + y² + z²) = 0,

A’ = ax² + by² + cz² + λ’(x² + y² + z²) = 0,

A’’ = ax² + by² + cz² + λ’’(x² + y² + z²) = 0,

et une quatrième conique quelconque:

U = 0,