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sur les coniques sphériques et nouvelle solution générale ecc. 121

tétragone U A’. Des équations (15) on tire:

B — B’ = μA — μ’A’,

μ’B — μB’ = (μ’ — μ)U + (λ — λ’)μμ’(x2 + y2 + z2);


donc l’équation

B — B’ = 0


représente une conique circonscrite au tétragone B B’ et homocyclique aux coniques A, A’, et l’equation:

μ’B — μB’ = 0


représente une conique circonscrite au tétragone B B’ et homocyclique à U.

Donc:

Théorème I. Étant données deux coniques homocycliques A, A’ et une troisième conique quelconque U, si aux tétragones U A, U A’ on circonscrit deux coniques quelconques B, B’, le tétragone B B’ sera inscrit tout à la fois à une conique homocyclique aux deux A, A’ et à une conique homocyclique à U.          (Chasles).

6. Soient encore données les coniques A, A’, U, d’où l’on déduit B, B’. On peut donner à la fonction B + kB’ la forme

x2 + y2 + z2.


Il suffit, en effet, de poser

k + 1 = 0,     μ — μ’ = 0;


alors on a:

B — B’ = μ(λ — λ’)(x2 + y2 + z2),


c’est-à-dire les coniques B, B’ sont homocycliques.

Ainsi:

Théorème II. Étant donnees deux coniques homocycliques A, A’ et une troisième conique quelconque U, si au tétragone U A on circonscrit une conique quelconque B, on pourra circonscrire au tétragone U A’ une conique B’ homocyclique à B.          (Chasles).

7. Soient données trois coniques homocycliques:

A = ax2 + by2 + cz2 + λ(x2 + y2 + z2) = 0,

A’ = ax2 + by2 + cz2 + λ’(x2 + y2 + z2) = 0,

A’’ = ax2 + by2 + cz2 + λ’’(x2 + y2 + z2) = 0,


et une quatrième conique quelconque:

U = 0,