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sur les coniques sphériques et nouvelle solution générale ecc.

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Une géodésique quelconque

10)	ax + by + cz = 0

est tangente a la courbe (8), si on satisfait à la condition

11)	${\frac {a^{2}}{\alpha }}+{\frac {b^{2}}{\beta }}+{\frac {c^{2}}{\gamma }}=0.$

Soient ω, ω’ les angles que la géodésique (10) fait avec les géodésiques (9); nous aurons

$\cos \omega ={\frac {a{\sqrt {\alpha -\beta }}+c{\sqrt {\beta -\gamma }}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\cdot {\sqrt {\alpha -\gamma }}}},$   $\cos \omega '={\frac {a{\sqrt {\alpha -\beta }}-c{\sqrt {\beta -\gamma }}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\cdot {\sqrt {\alpha -\gamma }}}};$

donc, si l’on pose

${\frac {\gamma }{\alpha }}$ = — tang² θ,

en vertu de la condition (11), on obtient

cos² ω + cos² ω’ — 2 cos 2θ . cos ω cos ω’ = sin²θ,

d’où:

ω ± ω’ = 2θ = constante,

c’est-à-dire la surface du triangle sphérique formé par les trois géodésiques (9) et (10) est constante, quelle que soit la tangente (10).

Les géodésiques (9) sont appelées lignes cycliques de la conique sphérique (8).

Donc:

Les lignes cycliques d’une conique sphérique sont les deux arcs de grands cercles (toujours réels) sur lesquels se trouvent les points d’intersection (imaginaires) de la conique et du cercle imaginaire situé a l’infini.

4. Pour obtenir les géodésiques tangentes communes à la conique (8) et au cercle (3), cherchons les points communs à leurs courbes réciproques:

12)	${\frac {x^{2}}{\alpha }}+{\frac {y^{2}}{\beta }}+{\frac {z^{2}}{\gamma }}=0,$     x2 + y2 + z2 = 0.

Celles-ci ont en commun les cordes reélles

13)	$z{\sqrt {\beta (\alpha -\gamma )}}\pm y{\sqrt {\gamma (\beta -\alpha )}}=0;$