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118 sur les coniques sphériques et nouvelle solution générale ecc.

déterminée θ, on a:

x2x3 + y2y3 + z2z3 = 0,

x3x1 + y3y1 + z3z1 = 0,

x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0.

Donc les trois points (7) sont les sommets d’un triangle trirectangle, et par conséquent la géodésique polaire de chacun d’eux par rapport à la conique (1) et au cercle (3) (ou absolu) passe par les autres deux. En prenant ce triangle pour triangle des coordonnées, c’est-à-dire en posant

7’)
y1 = z1 = 0,     z2 = x2 = 0,     x3 = y3 = 0


l’équation (1) deviendra

8)
αx2 + βy2 + γz2 = 0.

La forme de cette équation enseigne que si par l’un quelconque des points (7)’ on mène arbitrairement une corde (géodésique) de la conique (8), elle y est partagée en parties égales.

Donc les points (7)’ sont des centres de la conique sphérique. En supposant α > β > 0 et γ < 0, le point x = y = 0 est le centre intérieur; les autres sont au dehors de la courbe.

Ainsi:

Les centres d’une conique sphérique sont des points dont chacun a la même géodésique polaire par rapport à la conique et au cercle imaginaire situé a l’infini.

3. Le tétragone1 complet (imaginaire) inscrit à la conique (8) et au cercle imaginaire (3) a deux côtés réels; les autres sont imaginaires. En effet, en combinant les équations (3) et (8), on obtient:

(α — β)y2 + (α — γ)z2 = 0, deux géodésiques imaginaires;
(γ — β)z2 + (α — β)x2 = 0, deux géodésiques réelles;
(α — γ)x2 + (β — γ)y2 = 0, deux géodésiques imaginaires.

Donc la conique (8) et le cercle (3) ont en commun les cordes géodésiques réelles

9)
     

  1. Donné par les six grands cercles joignant les intersections de (3) et (8).                                                  Tm.