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| 118 | sur les coniques sphériques et nouvelle solution générale ecc. |
déterminée θ, on a:
x2x3 + y2y3 + z2z3 = 0,
x3x1 + y3y1 + z3z1 = 0,
x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0.
Donc les trois points (7) sont les sommets d’un triangle trirectangle, et par conséquent la géodésique polaire de chacun d’eux par rapport à la conique (1) et au cercle (3) (ou absolu) passe par les autres deux. En prenant ce triangle pour triangle des coordonnées, c’est-à-dire en posant
| 7’) |
y1 = z1 = 0, z2 = x2 = 0, x3 = y3 = 0
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l’équation (1) deviendra
| 8) |
αx2 + βy2 + γz2 = 0.
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La forme de cette équation enseigne que si par l’un quelconque des points (7)’ on mène arbitrairement une corde (géodésique) de la conique (8), elle y est partagée en parties égales.
Donc les points (7)’ sont des centres de la conique sphérique. En supposant α > β > 0 et γ < 0, le point x = y = 0 est le centre intérieur; les autres sont au dehors de la courbe.
Ainsi:
Les centres d’une conique sphérique sont des points dont chacun a la même géodésique polaire par rapport à la conique et au cercle imaginaire situé a l’infini.
3. Le tétragone1 complet (imaginaire) inscrit à la conique (8) et au cercle imaginaire (3) a deux côtés réels; les autres sont imaginaires. En effet, en combinant les équations (3) et (8), on obtient:
| (α — β)y2 + (α — γ)z2 = 0, | deux géodésiques imaginaires; | |
| (γ — β)z2 + (α — β)x2 = 0, | deux géodésiques réelles; | |
| (α — γ)x2 + (β — γ)y2 = 0, | deux géodésiques imaginaires. |
Donc la conique (8) et le cercle (3) ont en commun les cordes géodésiques réelles
| 9) |
