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sur les coniques sphériques et nouvelle solution générale ecc. | 117 |
le centre sphérique du cercle est le pôle (absolu) de la ligne géodésique (grand cercle):
Le cercle (2) devient géodésique (grand cercle) si λ = 0.
Pour λ infini on a le cercle imaginaire
3) |
x2 + y2 + z2 = 0,
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situé à une distance infinie (car il est la ligne du contact idéal entre la sphère et son cône asymptote).
L’équation (2) démontre que:
Tous les cercles (grands ou petits) tracés sur la sphère peuvent être considerés comme des coniques sphériques qui ont un double contact avec le cercle imaginaire à l’infini.
2. Soit
4) |
un point de la surface sphérique. La géodésique polaire relative au cercle imaginaire (3) pris comme courbe directrice est
5) |
x0x + y0y + z0z = 0,
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et la géodésique polaire du même point, par rapport à la conique (1), est
6) |
x(αx0 + φy0 + εz0) + y(φx0 + βy0 + δz0) + z(εx0 + δy0 + γz0) = 0.
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Si les deux lignes géodésiques (5) et (6) doivent coïncider, c’est-à-dire si le point (4) a la même polaire par rapport a la conique (1) et au cercle imaginaire (3), on aura
αx0 + φy0 + εz0 = θx0,
φx0 + βy0 + δz0 = θy0,
εx0 + δy0 + γz0 = θz0.
L’élimination de x0 : y0 : z0 de ces équations donne une équation cubique en θ; on sait que cette équation résultante a ses racines réelles, et que si l’on désigne par
7) |
(x1 : y1 : z1), (x2 : y2 : z2), (x3 : y3 : z3)
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les systèmes de valeurs de (x0 : y0 : z0) qui correspondent aux trois valeurs de l’in-