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solution de la question 464.

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tersection des faces $\beta =\delta =0$ avec l’intersection des faces $\gamma =\delta =0$. On sait que la conique représentée par l’équation ci-dessus est une circonférence, si l’on a

$l:m:n=\sin \alpha \delta .\sin \beta \delta \gamma :\sin \beta \delta .\sin \gamma \delta \alpha :\sin \gamma \delta .\sin \alpha \delta \beta .$

(Salmon)

De même, si les plans $\alpha =0$, $\beta =0$, $\gamma =0$ coupent la surface suivant des circonférences, on aura

${\begin{aligned}l:\mu :\nu &=\sin \delta \alpha .\sin \beta \alpha \gamma :\sin \gamma \alpha .\sin \delta \alpha \beta :\sin \beta \alpha .\sin \gamma \alpha \delta ,\\m:\nu :\lambda &=\sin \delta \beta .\sin \gamma \beta \alpha :\sin \alpha \beta .\sin \delta \beta \gamma :\sin \gamma \beta .\sin \alpha \beta \delta ,\\n:\lambda :\mu &=\sin \delta \gamma .\sin \alpha \gamma \beta :\sin \beta \gamma .\sin \delta \gamma \alpha :\sin \alpha \gamma .\sin \beta \gamma \delta .\end{aligned}}$

De là on tire immédiatement que $l$, $m$, $n$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$ sont proportionnelles aux quantités

${\frac {\sin {\alpha \delta }}{\sin {\beta \gamma }}}\sin \beta \alpha \gamma .\sin \beta \gamma \delta ,$     ${\frac {\sin {\beta \delta }}{\sin {\gamma \alpha }}}\sin \gamma \beta \alpha .\sin \gamma \delta \alpha ,$     ${\frac {\sin {\gamma \delta }}{\sin {\alpha \beta }}}\sin \alpha \gamma \beta .\sin \alpha \delta \beta ,$     ${\frac {\sin {\beta \gamma }}{\sin {\alpha \delta }}}\sin \alpha \beta \delta .\sin \alpha \gamma \delta ,$     ${\frac {\sin {\gamma \alpha }}{\sin {\beta \delta }}}\sin \beta \gamma \delta .\sin \beta \alpha \delta ,$     ${\frac {\sin {\alpha \beta }}{\sin {\gamma \delta }}}\sin \gamma \alpha \delta .\sin \gamma \beta \delta ,$

ce qui démontre le thèorème de M. Prouhet.

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