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solution de la question 435.

équations de cette courbe, je dérive la dernière équation deux fois par rapport au paramètre i:

${\frac {\lambda x}{(a+\lambda i)^{2}}}+{\frac {\mu y}{(b+\mu i)^{2}}}+{\frac {\nu z}{(c+\nu i)^{2}}}=0,$

${\frac {\lambda ^{2}x}{(a+\lambda i)^{3}}}+{\frac {\mu ^{2}y}{(b+\mu i)^{3}}}+{\frac {\nu ^{2}z}{(c+\nu i)^{3}}}=0.$

De ces trois équations, on tire

$x=-{\frac {\mu \nu (a+\lambda i)^{3}}{(\nu a-\lambda c)(\lambda b-\mu a)}},$

$y=-{\frac {\nu \lambda (b+\mu i)^{3}}{(\lambda b-\mu a)(\mu c-\nu b)}},$

$z=-{\frac {\lambda \mu (c+\nu i)^{3}}{(\mu c-\nu b)(\nu a-\lambda c)}},$

équations de la cubique gauche, qui est évidemment osculée par les plans

x = 0,     y = 0,     z = 0,     ${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1.$

Le plan a l’infini est aussi osculateur de la courbe, parce que les valeurs trouvées de x, y, z ne contiennent pas le paramètre variable i en diviseur.

Les équations ci-dessus sont simples et symétriques; mais si l’on veut étudier la cubique gauche qui résout la question proposée, il est bien plus simple de faire usage de la représentation analytique de ces courbes, que j’ai donnée dans un Mémoire inséré dans les Annali di Matematica pura e applicata (Roma, 1858). Soient x = 0 le plan osculateur dans un point de la courbe qu’on prend pour origine; y = 0 le plan qui touche la courbe dans ce même point et la coupe à l’infini; z = 0 le plan qui coupe la courbe à l’origine et la touche à l’infini. Les équations de la courbe seront

x = ai³,     y = bi²,     z = ci,

a, b, c étant des constantes et i le paramètre variable. La droite x = z = 0 divise en deux parties égales les cordes de la courbe parallèles au plan y = 0. La courbe a un grand nombre de propriétés qu’il est bien facile de découvrir à l’aide des équations données ci-devant.

La circonstance que la cubique gauche dont nous nous occupons est osculée par le plan à l’infini constitue pour elle un caractère spécifique qui la distingue de toute autre espèce de courbe du même degré. Si l’on compare les cubiques gauches aux coniques planes, l’espèce particulière de cubique dont il s’agit correspond à la parabole,