Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/123


solution de la question 435 109

classe (et du quatrième ordre) qui a deux de ses plans tangents passant par chaque droite donnée; ou bien, ce qui est la même chose, le plan de trois points homologues est osculateur d’une cubique gauche qui a deux de ses plans osculateurs passant par chaque droite donnée.

Dans le cas particulier qui constitue la question 435, les divisions homographiques données sont semblables; done les points à l’infini des droites OA, OB, OC sont homologues; par conséquent le plan abc enveloppe une surface développable de la troisième classe (et du quatrième ordre) qui a un plan tangent à l’infini; ou bien le plan abc est osculateur d’une cubique gauche qui a un plan osculateur a l’infini. Les plans OBC, OCA, OAB, ABC, sont osculateurs de la même courbe.

On résout la question avec facilité aussi par le calcul. Posons

OA = a OB = b OC = c,
Oa = p Ob = q Oc = r,


donc


i étant variable avec p, q, r; λ, μ, ν constantes. Cela montre que p, q, r sont les coordonnées courantes d’une droite fixe rapportée aux axes OA, OB, OC.

Les coordonnées du centre de gravité du triangle abc sont

x = (a + λi),     y = (b + μi),     z = (c + νi);


donc le lieu du centre est la droite


qui est parallèle a la droite fixe menée ci-dessus.

Le plan abc è pour équation


ou bien


Si dans cette équation on fait disparaître les dénominateurs, elle devient du troisième degré en i; done le plan abc est osculateur d’une cubique gauche. Pour obtenir les