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intorno alle coniche inscritte in una stessa superficie sviluppabile ecc.

(5) (6). I piani delle parabole sono rappresentati dalle:

$h{\frac {x}{a}}+2\alpha (3h-4\alpha ^{2}){\frac {y}{b}}+(3h-4\alpha ^{2})^{2}{\frac {z}{c}}=(\alpha \pm \beta {\sqrt {3}})^{3}$

epperò sono paralleli al piano (5) dell’iperbole locale: proprietà che ho già fatto notare altrove^[1]. Inoltre è facile vedere che il piano (5) è equidistante dai due piani delle parabole; dunque:

Quando lo spigolo di regresso d’una superficie sviluppabile del quart’ordine ha tre assintoti reali, essa non ha piani tangenti paralleli, epperò nessuna parabola è inscritta nella medesima. Ma se v’ha un solo assintoto reale, v’hanno pure due piani tangenti paralleli, i quali tagliano la superficie secondo due parabole. Il piano dell’iperbole locale è parallelo a questi due piani tangenti paralleli e da essi equidistante; ed inoltre i diametri delle parabole sono paralleli agli assintoti della locale.

Se nel primo membro della (5) si pongono per $x$, $y$, $z$ i valori (1) si ha il risultato:

$(\theta -\alpha ){\Big (}(\theta -\alpha )^{2}\pm 9\beta ^{2}{\Big )}$

dunque il piano della locale incontra sempre la cubica nel punto reale che corrisponde a $\theta =\alpha$; in nessun altro punto se la cubica ha un solo assintoto reale; nel caso di tre assintoti reali ancora in altri due punti reali:

$\theta =\alpha +3\beta ,$     $\theta =\alpha -3\beta .$

Ciò risulta anche da un teorema ricordato di sopra. Osservato poi che si ha:

$\Delta =(\theta -\alpha -\beta {\sqrt {3}})(\theta -\alpha +\beta {\sqrt {3}})$

si conchiude facilmente che, siccome in ogni piano osculatore della cubica esiste una conica inscritta nella sviluppabile, così:

Se la cubica gobba ha un solo assintoto reale, corrispondono ellissi a tutti i punti di essa compresi fra i due piani osculatori paralleli; iperboli a tutt’i punti rimanenti.

Altrove ho denominate fuoco^[2] di un piano il punto, sempre reale, ove concorrono i piani osculatori della cubica nelle intersezioni di essa col piano. Ora è facile vedere che il fuoco del piano (5) e il centro della conica locale (5) (6) coincidono in uno stesso

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1. Annali, gennaio-febbraio 1859.
2. Per questa denominazione ho seguìto l’esempio dell’illustre Chasles; veggansi i Comptes rendus del 1843. In questa teoria de’ fuochi sembra importante da considerarsi la retta che contiene i fuochi de’ piani paralleli a quello della conica locale.