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intorno alle coniche inscritte in una stessa superficie sviluppabile ecc.

tità, si ha la:

3)	(4h — θ2)${\frac {y^{2}}{b^{2}}}$ + (3h — 2αθ)(h + 2αθ)${\frac {z^{2}}{c^{2}}}$ +2(2αθ2 — θh — 4αh)${\frac {y}{b}}{\frac {z}{c}}$ + 2(θ2 — 2h)${\frac {y}{b}}$ + 2θ(h — 2αθ)${\frac {z}{c}}$ — θ2 = 0.

Questa equazione insieme colla (2) rappresenta quindi la conica secondo la quale il piano osculatore al punto θ sega la superficie sviluppabile, luogo delle rette tangenti alla cubica gobba, La conica (2) (3) è iperbole od ellisse secondo che la quantità:

Δ = (θ — α)² ∓ 3β²

è positiva o negativa. Dunque:

Quando lo spigolo di regresso di una superficie sviluppabile del quart’ordine¹ ha tre assintoti reali, tutte le coniche inscritte nella medesima (e poste ne’ suoi piani tangenti) sono iperboli.

Le coordinate del centro della conica (2) (3) sono date dalle:

4)	2Δ${\frac {x}{a}}$ = 3θ(2αθ — 3h),     2Δ${\frac {y}{b}}$ = 2θ(θ — α) — 3h,     2Δ${\frac {z}{c}}$ = θ — 4α

da cui eliminando θ si hanno le equazioni della conica locale de’ centri:

5)	h${\frac {x}{a}}$ + 2α(3h — 4α2)${\frac {y}{b}}$ + (3h — 4α2)2${\frac {z}{c}}$ + α(8α2 — 9h) = 0,

6)	$2\left((8\alpha ^{2}-3h){\frac {z}{c}}+4\alpha \left(1-{\frac {y}{b}}\right)\right)^{2}$ $+\left(1+2\alpha {\frac {z}{c}}-{\frac {y}{b}}\right)\left(2(4\alpha ^{2}+3h){\frac {y}{b}}-16\alpha ^{2}{\frac {z}{c}}-(8\alpha ^{2}+3h)\right)=0.$

Questa conica è iperbole od ellisse secondo che la quantità:

h — α² = ± β²

è positiva o negativa; dunque:

Il luogo de’ centri delle coniche inscritte in una superficie sviluppabile del quart’ordine è un’iperbole o un’ellisse secondo che lo spigolo di regresso ha un solo o tre assintoti reali.

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1. Ogni superficie sviluppabile di quart’ordine ha per ispigolo di regresso una cubica gobba: teorema del sig. Chasles (Aperçu historique. Nota 38.ª).