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102 intorno alle coniche inscritte in una stessa superficie sviluppabile ecc.

tità, si ha la:

3)
(4h — θ2) + (3h — 2αθ)(h + 2αθ)

+2(2αθ2 — θh — 4αh) + 2(θ2 — 2h) + 2θ(h — 2αθ) — θ2 = 0.


Questa equazione insieme colla (2) rappresenta quindi la conica secondo la quale il piano osculatore al punto θ sega la superficie sviluppabile, luogo delle rette tangenti alla cubica gobba, La conica (2) (3) è iperbole od ellisse secondo che la quantità:

Δ = (θ — α)2 ∓ 3β2


è positiva o negativa. Dunque:

Quando lo spigolo di regresso di una superficie sviluppabile del quart’ordine1 ha tre assintoti reali, tutte le coniche inscritte nella medesima (e poste ne’ suoi piani tangenti) sono iperboli.

Le coordinate del centro della conica (2) (3) sono date dalle:

4)
= 3θ(2αθ — 3h),     2Δ = 2θ(θ — α) — 3h,     2Δ = θ — 4α


da cui eliminando θ si hanno le equazioni della conica locale de’ centri:

5)
h + 2α(3h — 4α2) + (3h — 4α2)2 + α(8α2 — 9h) = 0,


6)

Questa conica è iperbole od ellisse secondo che la quantità:

h — α2 = ± β2


è positiva o negativa; dunque:

Il luogo de’ centri delle coniche inscritte in una superficie sviluppabile del quart’ordine è un’iperbole o un’ellisse secondo che lo spigolo di regresso ha un solo o tre assintoti reali.


  1. Ogni superficie sviluppabile di quart’ordine ha per ispigolo di regresso una cubica gobba: teorema del sig. Chasles (Aperçu historique. Nota 38.ª).