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intorno alle coniche inscritte in una stessa superficie sviluppabile ecc.

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ove è posto per brevità:

φ = (θ — α)² ± β²

a, b, c, α, β sono costanti determinate; θ è un parametro variabile da un punto all’altro della linea. Nel valore di φ il doppio segno dell’ultimo termine serve a distinguere i due casi che la cubica abbia uno solo o tre assintoti reali. L’origine è quel punto della linea che corrisponde a θ = 0; per θ = ∞ si ha quel punto della medesima che è a distanza infinita sull’asse delle x. Posto:

h = α² ± β²

il piano che sega la cubica ne’ tre punti di parametri θ₁, θ₂, θ₃ sarà rappresentato dall’equazione:

h${\frac {x}{a}}$ + (θ₁θ₂θ₃ — h(θ₁ + θ₂ + θ₃))${\frac {y}{b}}$

+(h(θ₂θ₃ + θ₃θ₁ + θ₁θ₂) — 2αθ₁θ₂θ₂)${\frac {z}{c}}$ — θ₁θ₂θ₃ = 0;

quindi l’equazione del piano osculatore nel punto di parametro θ è:

2)	h${\frac {x}{a}}$ + θ(θ2 — 3h)${\frac {y}{b}}$ + θ2(3h — 2αθ)${\frac {z}{c}}$ — θ3

e quelle della retta che unisce due punti θ₁, θ₂ sono:

${\frac {x}{a}}$ — (θ₁ + θ₂)${\frac {y}{b}}$ + θ₁θ₂${\frac {z}{c}}$ = 0,

(θ₁θ₂ — h)${\frac {y}{b}}$ + (h(θ₁ + θ₂) — 2αθ₁θ₂)${\frac {z}{c}}$ — θ₁θ₂ = 0.

Il piano osculatore al punto θ è tagliato dal piano osculatore al punto ω in una retta, la cui proiezione sul piano yz, ha per equazione:

$\omega ^{2}\left({\frac {y}{b}}-2\alpha {\frac {z}{c}}-1\right)+\omega \left(\theta \left({\frac {y}{b}}-1\right)+(3h-2\alpha \theta ){\frac {z}{c}}\right)$ $+(\theta ^{2}-3h){\frac {y}{b}}+\theta (3h-2\alpha \theta ){\frac {z}{c}}-\theta ^{2}=0.$

Da questa equazione e dalla sua derivata presa rispetto ad ω eliminando questa quan-