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intorno alle coniche inscritte in una stessa superficie sviluppabile ecc.

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ove è posto per brevità:

$\phi =(\theta -\alpha )^{2}\pm \beta ^{2}$

$a$, $b$, $c$, $\alpha$, $\beta$ sono costanti determinate; $\theta$ è un parametro variabile da un punto all’altro della linea. Nel valore di $\phi$ il doppio segno dell’ultimo termine serve a distinguere i due casi che la cubica abbia uno solo o tre assintoti reali. L’origine è quel punto della linea che corrisponde a $\theta =0$; per $\theta =\infty$ si ha quel punto della medesima che è a distanza infinita sull’asse delle $x$. Posto:

$h=\alpha ^{2}\pm \beta ^{2}$

il piano che sega la cubica ne’ tre punti di parametri $\theta _{1}$, $\theta _{2}$, $\theta _{3}$ sarà rappresentato dall’equazione:

$h{\frac {x}{a}}+{\Big (}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{3}-h(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}){\Big )}{\frac {y}{b}}$
$+{\Big (}h(\theta _{2}\theta _{3}+\theta _{3}\theta _{1}+\theta _{1}\theta _{2})-2\alpha \theta _{1}\theta _{2}\theta _{2}{\Big )}{\frac {z}{c}}-\theta _{1}\theta _{2}\theta _{3}=0;$

quindi l’equazione del piano osculatore nel punto di parametro $\theta$ è:

2)	$h{\frac {x}{a}}+\theta (\theta ^{2}-3h){\frac {y}{b}}+\theta ^{2}(3h-2\alpha \theta ){\frac {z}{c}}-\theta ^{3}=0$

e quelle della retta che unisce due punti $\theta _{1}$, $\theta _{2}$ sono:

${\frac {x}{a}}-(\theta _{1}+\theta _{2}){\frac {y}{b}}+\theta _{1}\theta _{2}{\frac {z}{c}}=0,$
$(\theta _{1}\theta _{2}-h){\frac {y}{b}}+{\Big (}h(\theta _{1}+\theta _{2})-2\alpha \theta _{1}\theta _{2}{\Big )}{\frac {z}{c}}-\theta _{1}\theta _{2}=0.$

Il piano osculatore al punto $\theta$ è tagliato dal piano osculatore al punto $\omega$ in una retta, la cui proiezione sul piano $yz$, ha per equazione:

$\omega ^{2}\left({\frac {y}{b}}-2\alpha {\frac {z}{c}}-1\right)+\omega \left(\theta \left({\frac {y}{b}}-1\right)+(3h-2\alpha \theta ){\frac {z}{c}}\right)$ $+(\theta ^{2}-3h){\frac {y}{b}}+\theta (3h-2\alpha \theta ){\frac {z}{c}}-\theta ^{2}=0.$

Da questa equazione e dalla sua derivata presa rispetto ad $\omega$ eliminando questa quan-