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| intorno alle superficie della seconda classe ecc. | 93 |
quindi dalle (19) si ha βγ > 0, epperò, essendo reale la prima conica, β < 0, γ < 0, e inoltre a < 0. Dunque la terza conica è ideale, la prima e quarta sono iperboli. Ora suppongasi ideale la terza conica e reale la seconda; avremo β > 0, a > 0, c < 0, quindi dalle (19): bα < 0 e, poichè la seconda conica è reale, b < 0, α > 0, γ < 0. Dunque la quarta conica è ideale, la prima è un’ellisse reale, la seconda un’iperbole. Il supporre poi la quarta conica ideale e la terza reale condurrebbe alla conseguenza che α + β + γ e abc avrebbero lo stesso segno; il che è contrario alla (18).
Nel primo e terzo caso il paraboloide è ellittico; iperbolico nel secondo. Ricerchiamo ora qual sia la distribuzione de’ centri delle superficie (5) in ciascuno de’ tre casi preaccennati.
Quinto caso.
13.º Abbiamo:
α > 0, β > 0, γ > 0, a > 0, b < 0, c > 0.
Per i < 0 si ha Φ < 0, ma non può essere simultaneamente Θ1 > 0, Ξ2 < 0, perchè ciò richiederebbe:
il che è evidentemente impossibile.
Per i compreso tra zero e λ si ha Φ > 0, Θ1 > 0, Ξ2 > 0.
Per i compreso fra λ e μ si ha Φ < 0 e Ξ2 > 0 perchè λ — μ’ > 0.
Per i compreso fra μ e ν si ha Φ > 0 e Θ1 < 0 perchè λ’’ < 0.
Per i > ν si ha Φ < 0, Θ1 > 0, Ξ2 < 0.
Dunque in questo caso corrispondono iperboloidi a due falde al primo e terzo segmento, iperboloidi ad una falda al quarto, ellissoidi al quinto, superficie ideali al secondo.
Sesto caso.
14.º Si ha:
α > 0, β < 0, γ < 0, a < 0, b < 0, c > 0.
Per i < 0 si ha Φ > 0, Θ1 < 0.
Per i compreso fra lo zero e λ si ha Φ < 0, ma non può essere simultaneamente Θ1 > 0, Ξ2 < 0, poichè ciò richiederebbe:
α + i(β’ + γ’) < 0 γ + α + iβ’ > 0
