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| 92 | intorno alle superficie della seconda classe ecc. |
Quarto caso.
11.º In questo caso abbiamo:
α > 0, β > 0, γ < 0, a < 0, b > 0, c > 0
α + β + γ > 0, β — c > 0, β + a > 0, γ — a < 0, γ + b < 0.
Per i < 0 si ha Φ > 0, Θ3 < 0.
Per i compreso tra lo zero e λ si ha Φ < 0; inoltre, se β’ + γ’ > 0 le (10) danno Θ1 < 0; e se β’ + γ’ < 0, si ha λ’’ > 0, λ’’ — λ > 0, quindi dalle (14) si ha ancora Θ1 < 0.
Per i compreso fra λ e μ si ha Φ > 0 e Ξ3 < 0 perchè μ — ν’ < 0.
Per i compreso fra μ e ν si ha Φ < 0; le (14) danno poi Θ3 > 0 perchè ν’’ > 0 e ν’’ — μ < 0: inoltre, siccome λ — λ’ > 0, così le (15) danno Ξ1 < 0.
Per i > ν si ha Φ > 0, e, come poc’anzi, Ξ1 < 0.
Dunque anche in questo caso otteniamo superficie tutte reali: ed invero corrispondono iperboloidi ad una falda al primo, terzo e quinto segmento; iperboloidi a due falde al secondo; ellissoidi al quarto.
Questi sono i soli casi in cui le quattro coniche siano tutte reali, epperò tutte reali siano anche le superficie rappresentate dalla equazione (5) per valori reali del parametro i. Veniamo ora a considerare i casi in cui alcuna delle coniche (1) sia ideale.
12.º Innanzi tutto, osservando le (1) è facile persuadersi che se una delle quattro coniche è ideale, ve n’ha un’altra pure ideale, e le due rimanenti sono necessariamente reali: anzi i centri delle due coniche ideali sono sempre consecutivi, cioè non ponno darsi che i tre casi seguenti:
5.º caso: che siano ideali la prima e seconda conica; allora la terza è iperbole e la quarta ellisse;
6.º caso: che siano ideali la seconda e la terza conica; le due rimanenti sono iperboli;
7.º caso: che siano ideali la terza e quarta conica; allora la prima è ellisse e la seconda iperbole.
Ecco come può dimostrarsi l’enunciata proprietà. Suppongasi in primo luogo ideale la prima conica, epperò α, β, γ tutti positivi; allora dalle (19) avremo bc < 0, ca > 0, ab < 0; ed inoltre, per la (18), sarà abc < 0; quindi a > 0, b < 0, c > 0. Dunque la seconda conica è ideale, la terza è un’iperbole, e la quarta un’ellisse reale.
In secondo luogo suppongasi ideale la seconda e reale la prima conica; allora:
α > 0, b < 0, c > 0
