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| intorno alle superficie della seconda classe ecc. | 91 |
Per i < 0 le (9), (10), (11) danno Φ < 0, Θ1 > 0, Ξ2 < 0.
Per i compreso fra lo zero e λ si ha Φ > 0, ed inoltre dalle (15):
Ξ3 < 0
perchè ν’ > 0, ν — ν’ < 0.
Per i compreso fra λ e μ si ha Φ < 0, e dalle (14):
Θ1 < 0
perchè λ’’ > 0, λ’’ — λ < 0.
Per i compreso fra μ e ν si ha Φ > 0, e dalle (15):
Ξ2 < 0
perchè μ — μ’ > 0.
Per i > ν si ha, come per i compreso fra λ e μ:
Φ < 0, Θ1 < 0
Dunque, nel caso attuale, corrispondono superficie reali a tutt’i punti della locale dei centri; e propriamente ellissoidi al primo segmento; iperboloidi ad una falda al secondo e quarto segmento; iperboloidi a due falde al terzo e quinto segmento.
B) Paraboloide iperbolico
αβγ(α + β + γ) < 0.
Terzo caso.
10.º Si ha:
α > 0, β < 0, γ > 0, a < 0, b < 0, c < 0
α + β + γ > 0.
Per i < 0 le (9), (10) danno Φ > 0, Θ2 < 0.
Per i compreso fra lo zero e λ si ha Φ < 0. Inoltre, se β + γ > 0 le (11) danno Ξ1 > 0; se β + γ < 0 e β’ + γ’ > 0 le (10) danno Θ1 < 0; se β + γ < 0 β’ + γ’ < 0 si ha λ’’ > 0, λ’’ — λ > 0, quindi le (14) danno ancora Θ1 < 0.
Per i compreso fra λ e μ si ha Φ > 0, e siccome μ’ > 0 e μ — μ’ < 0 così dalle (15) si ha Ξ2 < 0.
Per i compreso fra μ e ν si ha Φ < 0, ed inoltre Θ2 < 0 perchè μ’’ > 0, μ’’ — μ < 0.
Per i > ν si ha Φ > 0, ed inoltre, siccome λ — λ’ > 0, così le (15) danno Ξ1 < 0.
Adunque, nel caso attuale, si hanno superficie tutte reali, ed invero tutte iperboloidi ad una falda pel primo, terzo e quinto segmento; a due falde pel secondo e quarto.
