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intorno alle superficie della seconda classe ecc. 89


Osservo poi che avendosi fra i tre prodotti aα, bβ, cγ le relazioni (2) e (19), sui loro segni non ponno farsi che le due seguenti ipotesi:

aα > 0     bβ < 0     cγ > 0


ovvero:

aα < 0     bβ > 0     cγ < 0


nella prima ipotesi la prima conica è un’ellisse, nella seconda un’iperbole. Ciò premesso è evidente che, ammesse le quattro coniche tutte reali, non ponno darsi che questi quattro casi:

A) Il paraboloide sia ellittico; la prima conica ellisse;

1.º caso: la seconda e terza conica siano ellissi; la quarta iperbole;
2.º caso: le tre coniche siano tutte iperboli.

B) Il paraboloide sia iperbolico; la prima conica iperbole;

3.º caso: le altre tre coniche tutte iperboli;
4.º caso: la seconda conica iperbole, le altre ellissi.

È facilissimo persuadersi che non si ponno fare altre ipotesi. Per esempio, non può supporsi la seconda conica ellisse e la terza iperbole, perchè ciò richiederebbe bc < 0, epperò per le (19) avrebbesi:

βγ > 0     γα > 0


cioè α, β, γ avrebbero segni eguali, e per conseguenza la prima conica sarebbe ideale.

Ora ricerchiamo, in ciascuno de’ quattro casi accennati, come siano distribuiti i centri delle varie specie di superficie rappresentate dalla (5) sui cinque segmenti che i punti O, P, Q, R, centri delle coniche (1), determinano sulla retta (7), cioè sulla locale de’ centri.


A) Paraboloide ellittico.


αβγ(α + β + γ) > 0


Primo caso.

8.º In questo caso si ha:

α > 0     β < 0     γ < 0,          a > 0     b > 0     c < 0


quindi, per la (18):

α + β + γ > 0     β + γ < 0     γ + α > 0     α + β > 0


e dalle (16):

α — b > 0     α + c > 0     β — c < 0     β + α < 0.