 |
Questa pagina è stata trascritta e formattata, ma deve essere riletta. | |
| intorno alle superficie della seconda classe ecc. | 89 |
Osservo poi che avendosi fra i tre prodotti aα, bβ, cγ le relazioni (2) e (19), sui loro segni non ponno farsi che le due seguenti ipotesi:
aα > 0 bβ < 0 cγ > 0
ovvero:
aα < 0 bβ > 0 cγ < 0
nella prima ipotesi la prima conica è un’ellisse, nella seconda un’iperbole. Ciò premesso è evidente che, ammesse le quattro coniche tutte reali, non ponno darsi che questi quattro casi:
A) Il paraboloide sia ellittico; la prima conica ellisse;
B) Il paraboloide sia iperbolico; la prima conica iperbole;
È facilissimo persuadersi che non si ponno fare altre ipotesi. Per esempio, non può supporsi la seconda conica ellisse e la terza iperbole, perchè ciò richiederebbe bc < 0, epperò per le (19) avrebbesi:
βγ > 0 γα > 0
cioè α, β, γ avrebbero segni eguali, e per conseguenza la prima conica sarebbe ideale.
Ora ricerchiamo, in ciascuno de’ quattro casi accennati, come siano distribuiti i centri delle varie specie di superficie rappresentate dalla (5) sui cinque segmenti che i punti O, P, Q, R, centri delle coniche (1), determinano sulla retta (7), cioè sulla locale de’ centri.
A) Paraboloide ellittico.
αβγ(α + β + γ) > 0
Primo caso.
8.º In questo caso si ha:
α > 0 β < 0 γ < 0, a > 0 b > 0 c < 0
quindi, per la (18):
α + β + γ > 0 β + γ < 0 γ + α > 0 α + β > 0
e dalle (16):
α — b > 0 α + c > 0 β — c < 0 β + α < 0.
