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intorno alle superficie della seconda classe ecc.

da cui:

18)	abc(α + β + γ) < 0

e:

19)	bcβγ < 0     caγα > 0     abαβ < 0.

Dalla (18) risulta che la prima conica è ellisse (reale o ideale) o iperbole secondo che la quantità:

αβγ(α + β + γ)

è positiva o negativa. Dunque, secondo che il paraboloide è iperbolico o ellittico, anche la prima conica è iperbole o ellisse (reale o ideale).

Dalle (12) e (13), avuto riguardo alle (4) ed alla (2) si hanno le seguenti formole che ci gioveranno in seguito:

20, a)

λ — λ’ = ${\frac {\alpha +\beta +\gamma }{\alpha '}}$,     μ — λ’ = ${\frac {(\alpha +\beta +\gamma )(\beta +a)}{\alpha '\beta '}}$, ν — λ’ = ${\frac {(\alpha +\beta +\gamma )(\gamma -a)}{\alpha '\gamma '}}$

20, b)

λ — μ’ = ${\frac {(\alpha +\beta +\gamma )(\alpha -b)}{\beta '\alpha '}}$,     μ — μ’ = ${\frac {\alpha +\beta +\gamma }{\beta '}}$, ν — μ’ = ${\frac {(\alpha +\beta +\gamma )(\gamma +b)}{\beta '\gamma '}}$

20, c)

λ — ν’ = ${\frac {(\alpha +\beta +\gamma )(\alpha +c)}{\gamma '\alpha '}}$,     μ — ν’ = ${\frac {(\alpha +\beta +\gamma )(\beta -c)}{\gamma '\beta '}}$, ν — ν’ = ${\frac {\alpha +\beta +\gamma }{\gamma '}}$

21, a)

${\frac {\lambda ''-\lambda }{\lambda \lambda ''}}={\frac {\alpha +\beta +\gamma }{\alpha }},$     ${\frac {\lambda ''-\mu }{\mu \lambda ''}}={\frac {(\alpha +\beta +\gamma )(\beta -c)}{\alpha \beta }},$ ${\frac {\lambda ''-\nu }{\nu \lambda ''}}={\frac {(\alpha +\beta +\gamma )(\gamma +b)}{\alpha \gamma }}$

21, b)

${\frac {\mu ''-\lambda }{\lambda \mu ''}}={\frac {(\alpha +\beta +\gamma )(\alpha +c)}{\beta \alpha }},$     ${\frac {\mu ''-\mu }{\mu \mu ''}}={\frac {\alpha +\beta +\gamma }{\beta }},$ ${\frac {\mu ''-\nu }{\nu \mu ''}}={\frac {(\alpha +\beta +\gamma )(\gamma -a)}{\beta \gamma }}$

21, c)

${\frac {\nu ''-\lambda }{\lambda \nu ''}}={\frac {(\alpha +\beta +\gamma )(\alpha -b)}{\gamma \alpha }},$ ${\frac {\nu ''-\mu }{\mu \nu ''}}={\frac {(\alpha +\beta +\gamma )(\beta +a)}{\gamma \beta }},$     ${\frac {\nu ''-\nu }{\nu \nu ''}}={\frac {\alpha +\beta +\gamma }{\gamma }}.$

7.º È chiaro che ad una qualunque delle costanti che entrano nelle equazioni (1) si può dare quel segno che più aggrada; fissato il qual segno ad arbitrio, dai segni delle altre costanti dipende la natura delle quattro coniche. Noi riterremo α positivo.

Supporremo inoltre dapprima che le coniche medesime siano tutte reali: al quale uopo basta che in ciascuna delle equazioni (1) i coefficienti non siano nè tutti positivi, nè tutti negativi.

Siccome la specie delle tre ultime coniche dipende dai segni dei prodotti bc, ca, ab, così queste coniche ponno essere tre iperboli, o due ellissi ed una iperbole, ma non altrimenti; anzi determinata la specie di due fra quelle coniche, anche quella della rimanente è affatto individuata.