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capitolo iii - § 9

2° Il prodotto di un numero complesso $N$ per la somma $S$ di più numeri complessi è uguale alla somma dei prodotti di $N$ per ciascuno degli addendi di $S$.

3° Se $\alpha _{1},\alpha _{2},\dotsc ,\alpha _{m}$ e $\beta _{1},\beta _{2},\dotsc ,\beta _{n}$ sono più numeri complessi, il prodotto $\alpha _{1}\alpha _{2}\dotsc \alpha _{m}\beta _{1}\beta _{2}\dotsc \beta _{n}$ si ottiene moltiplicando il prodotto $\alpha _{1}\alpha _{2}\dotsc \alpha _{m}$ per il prodotto $\beta _{1}\beta _{2}\dotsc \beta _{n}$.

Valgono cioè anche per la moltiplicazione dei numeri complessi le regole del calcolo algebrico elementare.

Quoziente dei numeri ${\text{a}}+{\text{ib}}$, ${\text{c}}+{\text{id}}$ si dirà quel numero ${\text{x}}+{\text{iy}}$ il cui prodotto con ${\text{c}}+{\text{id}}$ riproduce il numero ${\text{a}}+{\text{ib}}$ quando ${\text{x}}+{\text{iy}}$ esista e sia determinato.

I numeri $x$ ed $y$ sono perciò definiti dalle equazioni $\left\{{\begin{matrix}xc-yd=a\\xd+yc=b\end{matrix}}\right\}$, le quali determinano $x$ ed $y$ soltanto se $c^{2}+d^{2}$ è differente da zero¹, ossia se $c$ e $d$ non sono entrambe nulli, ossia se il divisore $c+id$ è differente da zero; questa limitazione (che il divisore sia differente da zero) è la stessa che si presenta nel campo dei numeri reali.

Fig. 8. $\beta$) I numeri reali si rappresentano coi punti di una retta, i numeri complessi $a+ib$ si rappresentano assai spesso coi punti di un piano, ove sia fissato un sistema di coordinate $x$, $y$ cartesiane ortogonali (figura 8): il punto $A$, che ha per ascissa $a$ e per ordinata $b$, si assume come immagine del numero $a+ib$. Se $O$ è l’origine delle coordinate cartesiane, se indicansi con $\rho$ e $\theta$ le coordinate $\rho =OA$ e $\theta =(x,\rho )$ polari di $A$, sarà:

$a=\rho \cos \theta$, $b=\rho \operatorname {sen} \theta$, $\rho =|{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}|$, $\cos \theta ={\frac {a}{\rho }}$, $\operatorname {sen} \theta ={\frac {b}{\rho }}$, ${\text{tg}}\;\theta ={\frac {b}{a}}$; e quindi $a+ib=\rho (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$.

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1. Risolvendo, si trova infatti

   $x={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}\;,\;y={\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}.$

   Se $c^{2}+d^{2}=0$, ossia se $c=d=0$, allora dovrebbe essere anche $a=b=0$. E in tal caso le $x$, $y$ sono indeterminate.