Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/444

428

capitolo xx — § 127

---

esteso a un arco di curva come la somma degli integrali $\int X\,dx,\int \,Y\,dy,\int \,Z\,dz$ estesi allo stesso arco.

Se noi anche qui volessimo usare locuzioni abbreviate, potremmo definire il precedente integrale nel seguente modo:

Divisa la curva $C$ in infiniti archetti infinitesimi $\delta$, si moltiplichino i valori di $X,Y,Z$ in uno di questi pezzetti rispettivamente per le sue proiezioni $dx,dy,dz$ su tre assi coordinati e si sommino i prodotti così ottenuti. Otteniamo così un trinomio $Xdx+Ydy+Zdz$ per ognuno degli archetti $\delta$; la loro somma:

$\Sigma (Xdx+Ydy+Zdz)$

è il nostro integrale. Queste locuzioni sono però da considerarsi al solito come locuzioni abbreviate e non rigorose. Sarà utile esercizio ridurle ad una forma logica e soddisfacente.

$\gamma$) Il valore del nostro integrale è, si ricordi, quello di

$\int _{a}^{b}\left|X[x(t),y(t),z(t)]x'(t)+Y[x(t),y(t),z(t)]y'(t)+\right.$

$+\left.+Z[x(t),y(t),z(t)]z'(t)\right|dt$,

qualunque sia il parametro $T$ individuante i punti di $C$. Se, p. es., si pone $t=s=$ arco della curva $C$ contato da un'origine scelta a piacere, e se con $F={\sqrt {Z^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}$ si indica la grandezza del vettore che ha $X,Y,Z$ per componenti, con

$\alpha ={\frac {X}{F}},\,\,\,\,$$\,\,\beta ={\frac {Y}{F}},\,\,\,\,$$\,\,\gamma ={\frac {Z}{F}}$

se ne indicano i coseni direttori, il nostro integrale diventa:

$\int _{s_{0}}^{s_{1}}F\left(\alpha {\frac {dx}{ds}}+\beta {\frac {dy}{ds}}+\gamma {\frac {dz}{ds}}\right)ds$,

se $s_{0},s_{1}$ sono i valori di $s$ per $t=a$ e per $t=b$. Poichè ${\frac {dx}{ds}},{\frac {dy}{ds}},{\frac {dz}{ds}}$ sono i coseni direttori della tangente a $C$, indicando con $\omega$ l'angolo di $F$ con $C$ in un punto qualsiasi di $C$, il nostro integrale diventa $\int _{s_{0}}^{s_{1}}F\,{\text{cos}}\,\omega \,ds$. Il nostro integrale appare identico a quella funzione additiva dei pezzi della nostra curva, la cui derivata è $F\,{\text{cos}}\,\omega \,ds$, se conveniamo di assumere come misura di un pezzo di curva la sua lunghezza.