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integrali curvillinei e superficiali

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Mentre $\tau$ da $\alpha$ a $\beta$, la $t$ varia da $a$ a $b$. E in tali intervalli $t$ e $\tau$ si possono considerare funzioni l'una dell'altra tali che $x<8t<9={\bar {x}}(\tau ),x'(t)dt={\bar {x'}}(\tau )d\tau$, e analoche per $y,z$. La regola di integrazione per sostituzione dimostra che l'integrale (1) è uguale appunto a $\int _{\alpha }^{\beta }f[{\bar {x}}(\tau ),{\bar {y}}(\tau ){\bar {z}}(\tau )]{\bar {x'}}(\tau )d\tau$, cioè che l'integrale (1) non cambia, se cambiamo la rappresentazione parametrica della curva $C$.

È pure evidente che, se $C$ è la somma di due archi $C',C''$, si ha:

$\int _{C}X\,dx=\int _{C'}X\,dx+\int _{C''}X\,dx$

(che corrisponde al fatto che tale integrale è funzione additiva).

Si noti che, dato un arco, invece di dire quali dei suoi estremi si deve considerare primo, e quale secondo, Fig. 42. si può con una freccia indicare il verso in cui lo si intende percorso (fig. 42).

Mutare il verso della freccia farà cambiare il segno del nostro integrale.

Questa osservazione è specialmente importante per il caso che l'arco $AB$ sia un arco chiuso, ossia che gli estremi $A$ e $B$ coincidano (fig. 43).

In tal caso fissato con una freccia il verso in cui il nostro arco si deve intendere percorso, e, detto $(a,b)$ l'intervallo in cui deve variare $t$ dal valore $a$ al valore $b$, perchè il punto $(x,y,z)$ descriva (da $A$ in $A$ l'arco $C$ nel verso prestabilito, si intende con $\int X\,dx$ proprio l'integrale

Fig. 43.

$\int _{a}^{b}[x(t),y(t),z(t)]x'(t)]x'(t)dt$.

E naturalmente questo integrale non dipende dal punto $A=B$ considerato come inziale e finale, ma soltanto dall'arco dato e dal verso della freccia. Mutando questo verso, varia il segno dell'integrale.

$\beta$) In modo affatto analogo, se $Y$ e $Z$ sono funzioni continue nel campo $D$, si possono definire gli integrali $\int \,Y\,dy$ e $\int \,Z\,dz$ estesi a un arco di curva; e si può poi definire lo:

$\int \,(X\,dx\,+\,Y\,dy\,+\,Z\,dz)$