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equazioni differenzieli

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uguali entrambe $a+1$, cosicchè $c_{1}e^{x}+c_{2}xe^{x}$ ($c_{1},c_{2}=$ cost. arbitrarie) è l'integrale generale di tale equazione omogenea, perchè il Wronskiano

${\begin{vmatrix}e^{x}&xe^{x}\\e^{x}&e^{x}+xe^{x}\end{vmatrix}}=e^{2x}$

delle soluzioni $x,xe^{x}$ è differente da zero. Quindi l'integrale generale dell'equazione proposta è

$y=c_{1}e^{x}+c_{2}xe^{x}$,

dove le $c_{1},c_{2}$ sono funzioni della $x$ determinate dalle:

$c'_{1}e^{x}+c'_{2}xe^{x}=0$

$c'_{1}e^{x}+c'_{2}(e^{x}+xe^{x})=x$

donde si trae:

$c'_{1}=-x^{2}e^{-x},c'_{2}=xe^{-x}$

e quindi:

$c_{1}=-\int x^{2}e^{-x}dx=x^{2}e^{-x}+2xe^{-x}+2e^{-x}+k_{1}$;

$c_{2}=-xe^{-x}-e^{-x}+k_{2}$ ($k_{1},k_{2}=$ cost.)

l'integrale più generale dell'equazione proposta. Esso si sarebbe potuto scrivere senz'altro, appena fosse stato noto l'integrale particolare $x+2$, che si sarebbe potuto ottenere più rapidamente coi metodi dati nel seguente esempio 2°.

Altri Esempi.

1° Formare l'equazione lineare omogenea alle derivate ordinarie di $n^{esimo}$ ordine, che ammette gli integrali particolari $y_{1},y_{2},.....,y_{n}$.

Ris.     ${\begin{vmatrix}yy'y''&\cdots &y^{(n)}\\y_{1}y'_{1}y''_{1}&\cdots &y_{1}^{(n)}\\y_{2}y'_{2}y''_{2}&\cdots &y_{2}^{(n)}\\\cdots &\cdots &\cdots \\y_{n}y'_{n}y''_{n}&\cdots &y_{n}^{(n)}\end{vmatrix}}=0$;}} la quale non si riduce ad una identità, nè ad una equazione di ordine minore di $n$, se il Wronskiano delle $y_{i}$ è differente da zero.