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capitolo xviii — § 117

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Due integrali particolari sono perciò:

$e^{x},e^{2x}$,

e l'integrale generale dell'equazione è:

$a\,e^{x}+b\,e^{x}$,

dove $a,b$ sono costanti arbitrarie.

$\beta$) Immaginiamo ora che le $n$ radici $c_{1},c_{2},.....,c_{n}$ (che ancora supponiamo reali) non siano tutte distinte. In tal caso, col metodo precedente si ottengono $n$ integrali particolari, che non sono distinti ed hanno quindi un Wronskiano nullo. Non si trova perciò più l'integrale generale per la via precedentemente seguita.

Ora si può mostrare che, se $c_{1}=c_{2}$, allora è vero che si perde un integrale particolare, perchè $e^{c_{2}x}$ diventa uguale a $e^{c_{1}x}$, ma se ne acquista un altro, e cioè: {{centrato|$y=x\,e^{c_{1}x}$. ¹ Infatti dalla precedente uguaglianza si deduce

$y'=e^{c_{1}x}+xc_{1}e^{c_{1}x}$

$y''=2c_{1}e^{c_{1}x}+xc_{1}^{2}e^{c_{1}x}$

$y'''=3c_{1}^{2}e^{c_{1}x}+xc_{1}^{2}e^{c_{1}x}$

$\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$

$y^{(n)}=nc_{1}^{n-1}e^{c_{1}x}+x{c}_{1}^{n}e^{c_{1}x}$

E, sostituendo nell'equazione differenziale data, si trova:

$(xc_{1}^{n}e^{c_{1}x}+.....+p_{n-2}c_{1}^{2}xe^{c_{1}x}+p_{n-1}c_{1}xe^{c_{1}x}+p_{n}xe^{c_{1}x})+$

$+(nc_{1}^{n-1}e^{c_{1}x}+.....+2\,p_{n-2}c_{1}e^{c_{1}x}+p_{n-1}e^{c_{1}x})=$

$=xe^{c_{1}x}(c_{1}^{n}+.....+p_{n-2}c_{1}^{2}+p_{n-1}c_{1}+p_{n})+$

$+e^{c_{1}x}(nc_{1}^{n-1}+.....+2\,p_{n-2}c_{1}+p_{n-1})=0$.

La quale relazione è effettivamente verificata se $c_{1}$ è radice doppia, perchè allora per $c=c_{1}$ si annulla non solo il primo membro dell'equazione caratteristica, ma anche (§ 64) la sua prima derivata rispetto alla $c$, cosicchè ciascuna delle

$c_{1}^{n}+p_{1}c_{1}^{n-1}+.....+p_{n-1}c_{1}+p_{n}$,

$nc_{1}^{n-1}+(n-1)p_{1}c_{1}^{n-2}+.....+p_{n-1}$

è nulla.

1. Si noti che, se $c_{2}\not =c_{1}$, evidentemente alla soluzioni $e^{c_{1}x},e^{c_{2}x}$ possiamo sostituire la $e^{c_{1}x}$ e la ${\frac {e^{c_{2}x}-e^{c_{1}x}}{c_{2}-c_{1}}}$. La seconda, pensata come funzione di $c_{2}$, tende precisamente ad $x\,e^{c_{1}x}$ per $c_{2}=c_{1}$.