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capitolo xii — § 76

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dove $\mathrm {R(x)}$ è al massimo di ottavo grado. Basterà provare che ${\frac {R(x)}{T(x)}}$ si può decomporre nella somma di addendi $\mathrm {\beta }$) e $\gamma$); ossia che si possono trovare delle costanti $A_{1}$, $A_{2}$, $M$, $N$, $b_{0}$, $b_{1}$, $b_{2}$, $b_{3}$, $b_{4}$ cosicchè sia

${\frac {R(x)}{T(x)}}={\frac {A_{1}}{x+a_{1}}}+{\frac {A_{2}}{x+a_{2}}}+{\frac {Mx+N}{x^{2}+xp+q}}+{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+...b_{4}x^{4}}{(x+a_{2})(x^{2}+px+q)^{2}}}\right]$. (2)

Il metodo migliore per calcolare l'ultimo termine (da seguirsi anche negli esercizi numerici) è quello di derivare applicando la regola di derivazione di un prodotto, considerando p. es. nel caso attuale la frazione da derivare come il prodotto di $b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+...+b_{4}x^{4}$ per $(x+a_{2})^{-1}$ e per $(x^{2}+px+q)^{-2}$. Si trova allora che la nostra uguaglianza diventa:

${\frac {R(x)}{T(x)}}={\frac {A_{1}}{x+a_{1}}}+{\frac {A_{2}}{x+a_{2}}}+{\frac {Mx+n}{x^{2}+px+q}}+{\frac {b_{1}+2b_{2}x+...+4b_{4}x^{3}}{(x+a_{2})(x^{2}+px+q)^{2}}}-$

$-{\frac {b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+...+b_{4}x^{4}}{(x+a_{2})^{2}(x^{2}+px+q)^{2}}}-2{\frac {(b_{0}+b_{1}x+...+b_{4}x^{4})(2x+p)}{(x+a_{2})(x^{2}+px+q)^{2}}}$. (2)^bis

Moltiplicando per ${\frac {1}{k}}T(x)=(x+a_{1})(x+a_{2})^{2}(x^{2}+px+q)^{2}$, tutti i denominatori svaniscono; e l'uguaglianza precedente diventa:

${\frac {1}{k}}R(x)=A_{1}(x+a_{2})^{2}(x^{2}+px+q)^{3}+A_{2}(x+a_{1})(x+a_{2})(x^{2}+px+q)^{3}$

$+(Mx+N)(x+a_{1})(x+a_{2})^{2}(x^{2}+px+q)^{2}$

$+(x+a_{1})(x+a_{2})(x^{2}+px+q)(b_{1}+2b_{2}x+...+4b_{4}x^{3})$

$-(b_{0}+b_{1}x+...+b_{4}x^{4})(x+a_{1})(x^{2}+px+q)$

$-2(b_{0}+b_{1}x+...+b_{4}x^{4})(2x+p)(x+a_{1})(x+a_{2})$,

dove il secondo membro è ancora al massimo di ottavo grado, perchè ogni suo termine è stato ottenuto moltiplicando ${\frac {1}{k}}T(x)$ (di grado nove) per una frazione il cui numeratore è di grado inferiore al denominatore.

Se noi sviluppiamo il secondo membro, otterremo un'espressione del tipo:

$c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+.....+c_{7}x^{7}+c_{8}x^{8}$,