Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/267

integrali

251

---

$\beta$) di frazioni semplici, ciascuna delle quali ha per denominatore uno dei fattori di primo o di secondo grado, in cui, secondo il teorema del § 16, pag. 52-53, si può decomporre il denominatore $\mathrm {T(x)}$;

$\gamma$) della derivata di una frazione

${\frac {V(x)}{W(x)}}$,

il cui denominatore $\mathrm {W(x)}$ è il massimo comun divisore di $\mathrm {T(x)}$ e $\mathrm {T'(x)}$, ossia il polinomio che si deduce da $\mathrm {T(x)}$ diminuendo di un'unità l'esponente di ognuno dei suoi fattori precedentemente citati, mentre $\mathrm {V(x)}$ è un polinomio di grado inferiore al grado di $\mathrm {W(x)}$. Cosicchè, se $\mathrm {T(x)}$ è privo di fattori multipli, $\mathrm {W(x)}$ è una costante (polinomio di grado zero), $V(x)$ è quindi nullo; e questa funzione $\mathrm {\frac {V}{W}}$ è nulla.

Oss. Notiamo che in $\gamma$) abbiamo dato due modi per calcolare $W(x)$. Secondo il caso, sarà più utile l'uno o latro procedimento.

Così, p. es., se

$T(x)=k(x+a_{1})(x+a_{2})^{2}(x^{2}+px+q)^{3}\left({\frac {p^{2}}{4}}-q<0\right)$,

dal teorema precedente risulta che in ogni frazione ${\frac {P(x)}{T(x)}}$ si può decomporre nella somma: $\alpha$) del polinomio $Q(x)$ ottenuto dividendo $P(x)$ per $T(x)$; $\beta )$ di tre frazioni semplici           ${\frac {A_{1}}{x+a_{1}}}$     ,     ${\frac {A_{2}}{x+a_{2}}}$     ,     ${\frac {Mx+N}{(x^{2}+px+q)}}$; $\gamma$ e infine di una derivata

${\frac {d}{dx}}\left[{\frac {b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+d_{3}x^{3}+b_{4}x^{4}}{(x+a_{2})(x^{2}+px+q)^{2}}}\right]$.

E noi, anzichè dimostrare il teorema in generale, ci riferiremo per semplicità a questo esempio. La dimostrazione si estende però al caso più generale soltanto con qualche complicazione di notazioni.

Dim. Siano $Q(x)$, $R(x)$ quoziente e resto ottenuti dividendo $P(x)$ per $T(x)$. Tale resto $R(x)$ sarà di grado inferiore al grado di $T(x)$, che nel caso attuale vale $9$. Potremo porre

${\frac {P(x)}{T(x)}}=Q(x)+{\frac {R(x)}{T(x)}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$(1)