Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/25

numeri reali

9

---

prima cifra decimale; sia $m_{3}$ la massima terza cifra decimale di quei numeri di $G$, che hanno $m$ per parte intera ed $m_{1}$, $m_{2}$ rispettivamente come prima e seconda cifra decimale. E così via. Noi chiameremo limite superiore dei numeri di $G$ il numero $L=m,m_{1}\;m_{2}\;m_{3}.....$, che si ottiene scrivendo dopo $m$ le successive cifre decimali $m_{1}$, $m_{2}$, $m_{3}$, ..... Evidentemente il numero cercato $N$ coincide, se esiste, con questo numero $L$.

B₁) Può avvenire che la classe $G$ contenga tra i suoi numeri il numero $L$. Ciò avviene evidentemente, per esempio, se la classe G contiene un numero finito di numeri n. In tal caso $L$ è proprio il massimo numero di $G$, che noi cercavamo.

B₂) Può invece avvenire che il numero $L$ non appartenga alla classe $G$. Ciò avviene, per esempio, se $G$ è la classe dei numeri minori di 2; in tal caso $L=1,9999.....=2$, che non appartiene a $G$. In tal caso di nuovo la classe $G$ non possiede un numero massimo (questo, se esistesse, coinciderebbe con $L$, che viceversa non è un numero di $G$, mentre invece $N$ dovrebbe essere un numero di $G$).

Una classe $G$ di numeri possiede in ogni caso un limite superiore $L$. Se questo appartiene alla classe $G$, esso è anche il massimo numero di $G$. Se esso non appartiene a $G$, la classe $G$ non contiene un numero massimo. Se $L$ non è $+\infty$, allora $L$ è il minimo numero, che non sia superato da alcun numero di $G$; se </math>k</math> è un intero qualsiasi, esiste in $G$ almeno un numero che coincide col limite superiore $L$ fino alla $k^{\text{esima}}$ cifra decimale inclusa ¹

Perciò sono possibili tre soli casi:

1°) Non vi è alcun numero maggiore di tutti i numeri di $G$ (ossia $L=+\infty$);

2°) Tra i numeri di $G$ ve n'è uno $L$ massimo ($L$ è finito ed appartiene a $G$);

3°) Tra i numeri positivi maggiori di ogni numero di $G$ ve n'è uno $L$ minimo ($L$ è finito e non appartiene a $G$).

Un numero decimale illimitato $N$ è il limite superiore dei numeri decimali limitati, che se ne deducono trascurando le cifre decimali da un certo punto in poi. Così, per esempio, 0,3333..... è il limite superiore dei numeri 0,3; 0,33; 0,333; eccetera.

Se ogni numero $m$ della classe $G$ soddisfa alla $m<k$, oppure alla $m\leq k$, oppure alla $m>k$, oppure alla $m\geq k$ (dove $k$ è un numero prefissato), allora il limite superiore $L$ soddisferà rispet-

---

1. Si dimostra che il limite superiore non varia, se si cambia il numero assunto come base del sistema di numerazione, servendosi delle proprietà qui enunciate per $L$.